PROPIEDADES DE LAS CONICAS
Páginas: 6 (1490 palabras)
Publicado: 22 de octubre de 2015
PROPIEDADES DE LAS CONICAS (Sección cónica)
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
Los cuatro ejemplos de intersección de un plano conun cono: parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hiperbola (3).
Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β > α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β < α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Siel plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye,cuando elplano contenga al eje del cono (β = 0).
Las cuatro secciones cónicas en el plano.
Expresión algebraica
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² > ab: hipérbola.
h² = ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a = b y h = 0:circunferencia.
Mediante un software se pueden representar las gráficas de la ecuación general de las cónicas. A continuación se presentan los tres casos: Parábola, elipse e hipérbola.
Esta gráfica representa una parábola girada un determinado ángulo.
Esta gráfica representa una elipse girada con un cierto ángulo.
Esta gráfica representa una hipérbola girada un determinado ángulo.Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
Características
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse se destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Eje mayor, AA´
Eje menor, BB´
Distanciafocal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyasasíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Vértices, A y A
Distancia entre los vértices
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es: A su vez, la de una hipérbola vertical es:
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del planoque equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, de una parábola se destacan los siguientes elementos:
Eje, e
Vértice, V
Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:
La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntosestán a igual distancia del centro.
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.
Distíngase del círculo que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en dicha circunferencia o también la circunferencia es el perímetro del círculo. En el círculo los puntos de...
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
Los cuatro ejemplos de intersección de un plano conun cono: parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hiperbola (3).
Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β > α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β < α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Siel plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye,cuando elplano contenga al eje del cono (β = 0).
Las cuatro secciones cónicas en el plano.
Expresión algebraica
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² > ab: hipérbola.
h² = ab: parábola.
h² < ab: elipse.
a = b y h = 0:circunferencia.
Mediante un software se pueden representar las gráficas de la ecuación general de las cónicas. A continuación se presentan los tres casos: Parábola, elipse e hipérbola.
Esta gráfica representa una parábola girada un determinado ángulo.
Esta gráfica representa una elipse girada con un cierto ángulo.
Esta gráfica representa una hipérbola girada un determinado ángulo.Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar la excentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.
Características
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse se destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Eje mayor, AA´
Eje menor, BB´
Distanciafocal, OF
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyasasíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola se destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Vértices, A y A
Distancia entre los vértices
Distancia entre los focos
La ecuación de una hipérbola horizontal con centro (0, 0), es: A su vez, la de una hipérbola vertical es:
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del planoque equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz.
Además del foco, F, y de la directriz, de una parábola se destacan los siguientes elementos:
Eje, e
Vértice, V
Distancia de F a d, p.
Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:
La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntosestán a igual distancia del centro.
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante que se denomina radio.
Distíngase del círculo que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en dicha circunferencia o también la circunferencia es el perímetro del círculo. En el círculo los puntos de...
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