Series De Taylor

SERIES DE TAYLOR

JESUS ALBERTO CABRERA
MARIA MONICA CALDERON
KEREN GONZALES
CHRISTIAN SANTIAGO SANCHEZ


PROFESOR:
CESAR REYES

FUNDACION UNIVERSIDAD CENTRALPROFESOR CESAR REYES
MATEMATICAS II
BOGOTA
2012
SERIES DE TAYLOR

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja)definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

fx= n=0∞fnan! (x-a)n

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésimaderivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica.Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representarcon una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama seriede MacLaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, queresultan operaciones triviales.

* Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

* Es posible demostrar que, si es viable la transformaciónde una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Teorema.

Si f admite una representación en series de potencias convergente a.

fx= an(x-c)n ∀ x ∈I Para todo x que pertenece a I. Donde I es un intervalo abierto que contiene a c entonces

an= fn(c)n! Y fx= n=0∞fn(c)n! (x-c)n=