Series y sucesiones

CAPÍTULO XIX
Series
Definiciones: Una sucesión es un conjunto de término formados según una ley o regla determinada.
Ejemplo: 1, 4, 16,25 o 1, -x,x22, -x33,x44,-x55
Una serie también es la suma indicada de los términos de una sucesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos las siguientes series.
1+4+16+25 o 1 –x-x22-x33+x44-x55
Cuando el número de términos es limitado, lasucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie es infinita indicándose con puntos suspensivos.
Una expresión que se presenta como el producto de números enteros sucesivos comenzando por 1 se llama factorial.
1x2x3x4x5…x (n-1) xn
La serie geométrica de n términos:
Sn = a+ ar+ ar2+…+arn-1 . Si |r|<1, entonces rn disminuye en valor numérico cuandon aumenta. Si |r|<1 la suma Sn de una serie geométrica tiene hacia un límite cuando el numero de términos aumenta indefinidamente la serie es convergente.
Si |r|>1 , entonces rn se hará infinito cuando n aumenta indefinidamente.
Si n es para, la suma es cero. Si n es impar, la suma es a. Cuando n aumenta indefinidamente la suma no aumente indefinidamente y no tiende hacia un límite.Esto se llama serie oscilante.
Series convergentes y divergentes
En la serie Sn= u1+ u2+u3…un, la variable Sn es una función de n, Si hacemos que el número de términos tienda a infinito puede ocurrir que:
CASO 1: Que Sn tienda hacia un límite: limSn→∞=u. En este caso se dice que la serie es convergente; converge al valor de u.
CASO 2: Que Sn no tienda hacia ningún límite. En este caso la seriees divergente. A una serie divergente no se le asigna ningún valor.
1+2+3+4+5…

Teoremas Generales
Teorema 1: Si Sn es una variable que siempre aumenta cuando n aumenta, pero sin llegar nunca a ser mayor que algún número fijo definido A , entonces, cuando n tiende a infinito Sn tendrá un límite u no mayor que A.
Teorema 2: Si Sn es una variable que siempre disminuye cuando n aumenta, perosin llegar nunca a ser menor que algún número fijo definido B, entonces, cuando n tiende a infinito, Sn tendera hacia un límite u no menor que B.
En una serie convergente el término general tiende a cero. Recíprocamente, si el término general de una serie no tiende a cero cuando n tiende al infinito, la serie es divergente.
Criterios de comparación
(1) Sea u1+u2+u3+ …
Si se puedeencontrar una serie de términos positivos que sepamos de antemano que es convergente, a saber,
(2) a1+a2+a3+…
Cuyos términos no sean nunca menores que los términos correspondientes de la serie dada (1), entonces, la serie (1) es convergente y su valor no excede al de la serie (2).
Criterio de divergencia
Sea (5) u1+u2+u3+… Una serie de términos positivos que deseamos saber si es o noconvergente. Si estos términos no son nunca menores que los términos correspondientes de una serie de términos positivos tal como
(6) b1+b2+b3+…
De la cual se sabe que es divergente.
Ejemplo: Averigua la convergencia o divergencia de la serie
1 + 12+ 13+ …
Solución: Esta serie es divergente; sus términos son mayores que los términos correspondientes de la serie 1 + 12p+13p+...
Criterio deD’Alembert
En la serie geométrica infinita
a+ ar+ ar2+…arn+arn+1+…,
La razón de los términos consecutivos arn+arn+1 es r. Sabemos que la serie es convergente cuando |r|<1, y divergente para otros valores.
Teorema
Sea u1+u2+u3...-un+1+…
Una serie infinita de términos positivos.
Razón D’Alembert = unun+1un
Ejemplo: Q= limn→∞=unun+1un
Entonces
I. Cuando Q<1, la serie es convergenteII. Cuando Q>1, la serie es divergente
III. Cuando Q=1, la serie falla

Series Alternadas
Se da este nombre a las series cuyos términos son alternativamente positivos y negativos
Teorema: Si u1-u2+u3-u4+… es una serie alternada, en la que cada termino es numéricamente menor que el que le precede, y si
limn→∞ un=0
Entonces la serie es convergente.
Demostración. Cuando n es...