Solucion Ecuaciones Simultaneas Por Matrices Y Determinantes

RESOLUCION SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS UTILIZANDO DETERMINANTES Y MATRICES

Algebraicamente las ecuaciones simultáneas se resuelven por los siguientes sistemas:
a. Por sustitución
b. Por igualación
c. Por eliminación
Si tenemos que:
1. 5x+3y=5
2. 4x+7y=27
Estas ecuaciones las resolveremos utilizando los sistemas de sustitución, igualación y eliminación:
PORSUSTITUCION
Se trata de despejar en cualquiera de las dos ecuaciones una de las incógnitas, para luego reemplazarla en la otra ecuación, así:
Si en la ecuación (1) despejamos el valor de x, se tendría:

x=5-3y5

Sustituimos x en la segunda ecuación, así:

45-3y5+7y=27

Trasladamos 7y al otro lado de la igualdad
45-3y5=27-7y
Pasamos el denominador (5) a multiplicar al otro lado de laigualdad
45-3y=527-7y
20-12y=135-35y
35y-12y=135-20
23y=115
y=11523
y=5
El valor encontrado de y , lo reemplazamos en la primera ecuación, así:
5x+3y=5
5x+35=5
5x+15=5
5x=5-15
5x=-10
x=-105
x=-2

POR IGUALACION
1. 5x+3y=5
2. 4x+7y=27
En las dos ecuaciones despejamos la misma incógnita y luego las igualamos, si despejamos la x, tenemos:
x=5-3y5
x=27-7y4
5-3y5= 27-7y4
45-3y=527-7y20-12y=135-35y
35y-12y=135-20
23y=115
y=11523
y=5
Para hallar el valor de (x) reemplazamos el valor encontrado de (y) en la primera ecuación, así:
5x+3y=5
5x+35=5
5x+15=5
5x=5-15
5x=-10
x=-105
x=-2
POR ELIMINACION
1. 5x+3y=5
2. 4x+7y=27
Se trata de igualar en su valor el coeficiente de una de las incógnitas en ambas ecuaciones, en el ejemplo, si todos los términos de laecuación (1) los multiplicamos por 4, y la ecuación (2) la multiplicamos 5, se tiene:
45x+3y=54
20x+12y=20
54x+7y=527
20x+35y=135
Obtendríamos las siguientes ecuaciones 3 y 4
3. 20x+12y=20
4. 20x+35y=135
Si la ecuación (3) la multiplicamos por -1, quedaría:
-20x-12y=-20
Luego se suman las ecuaciones obtenidas, así
20x+35y = 135
-20x-12y =-20
---------------------------------0 +23y = 115
y=11523
y=5
Para hallar el valor de (x) reemplazamos el valor encontrado de (y) en la primera ecuación, así:
5x+3y=5
5x+35=5
5x+15=5
5x=5-15
5x=-10
x=-105
x=-2
SOLUCION POR DETERMINANTES
Con las mismas ecuaciones de nuestro ejemplo:
1. 5x+3y=5
2. 4x+7y=27
Para la solución utilizando determinantes, seguimos los siguientes pasos:
PASO 1. Separamos los coeficientesde las incógnitas.
5354727
PASO 2. Calculamos un divisor común llamado determinante, para lo cual multiplicamos los coeficientes de izquierda a derecha y comenzando por la parte superior y restamos el producto de los coeficientes de la parte inferior, siempre teniendo en cuenta el signo (ley de signos).

5 34 7

5x7-4x3
35-12=23
Determinante = 23
PASO 3. Para determinar el valorde (x), reemplazamos los valores de (X) por los valores de la igualdad y se procede de la misma forma anotada anteriormente, el resultado se divide por el determinante encontrado.
53277
5x7-(27x3)23= 35-8123=-4623= -2

x=-2
PASO 4. Para determinar el valor de (y), reemplazamos los valores de (y) por los valores de la igualdad y se procede de la misma forma anotada anteriormente, el resultadose divide por el determinante encontrado.
55427
5x27-4x523= 135-2023=11523= 5
y=5

RESOLUCION SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON TRES O MAS INCOGNITAS UTILIZANDO DETERMINANTES

Algebraicamente, las ecuaciones simultáneas con tres o más incógnitas, se resuelven de la misma forma que con dos incógnitas, explicadas anteriormente. Por lo tanto nos centraremos a explicar su soluciónutilizando determinantes en sus tres formas, a saber:

a. Determinantes por filas
b. Determinantes por columnas
c. Determinantes por menores de filas

Si se tiene el siguiente sistema, lo resolveremos utilizando determinantes en sus tres formas de solución, as:
2x+y-3z=12
5x-4y+7z=27
10x+3y-z=40

SOLUCION DETERMINANTES POR FILAS
PASO 1. Se separan los coeficientes de las...