teorema espectral

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO.
FACULTAD DE INGENIERÍA.
ÁLGEBRA LINEAL.
TEOREMA ESPECTRAL.
GRUPO. 31
PROFESOR ARMANDO LOPEZ PARRA.


INTEGRANTES:
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INTRODUCCIÓN.

Elteorema espectral permite descomponer un operador normal, expresándolo como combinación lineal de ciertos operadores conocidos como proyecciones ortogonales. Expresa las condiciones bajo lascuales un operador o una matriz pueden ser diagonalizados (es decir, representadas como una matriz diagonal en alguna base). Se identifica así, un tipo de operadores lineales que puedenrepresentarse como una multiplicación de operadores.

BASES TEÓRICAS





TEOREMA ESPECTRAL.
Sea V un espacio vectorial sobre C (sobre IR), de dimensión finita y con producto interno, y sea T:V-->V un operador normal (simétrico). Si λ1,λ2…λk son los diferentes valores característicos de T, E(λi) es el espacio característico correspondiente a λi y Pi es la proyección ortogonal sobreE(λi) entonces:
1) T= λ1P1 + λ2P2 + …+ λkPk
2) P1 + P2 +…+ Pk = I
3) Pi ◦ Pj = 0, para i ≠ j
Teorema espectral para matrices simétricas.
Una matriz simétrica de A de n x n tiene lassiguientes propiedades.
a) A tiene n valores propios reales, contado multiplicidades .
b) La dimensión del espacio vectorial propio para cada valor propio λ es igual a la multiplicidad de λ comoraíz de la ecuación característica.
c) Los espacios propios son mutuamente ortogonales, en el sentido de que los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son ortogonales.d) A es diagonalizable ortogonalmente.
Descomposición espectral.
Suponga que A=PDP-1 , donde las columnas de P son vectores propios orto normales u1, u2,…,un de A y los valores propioscorrespondientes λ1, λ2,… λn están en la matriz diagonal D. Entonces como P-1= PT

A partir del desarrollo de columna fila de un producto puede escribirse
A= λ1u1u1T + λ2u2u2T +…+ λnununT