TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Transformaciones Lineales
Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto exactamente un
elemento de otro conjunto
Las Transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales.
Rn es un espacio vectorial.
Definición:
Una transformación T de Rn en Rm, que se denota T:Rn → Rm, es una reglaque asigna a
cada vector U en Rn un vector único V en Rm .
Rn recibe el nombre de dominio de T y Rm es el codominio. Se representa esta relación
mediante T(U) = V; V es la imagen de U bajo T. El conjunto de imágenes recibe el nombre
de rango de T. El rango está formado por Rm o una parte de éste.

Rn

Rm

T(U)

U
V

T(V)

U+V

T(U+V)

cU

T(cU)
T

Definición:
Sean U y V vectores en Rn y sea c unescalar. Se dice que una transformación T:Rn → Rm es
lineal si
T (U + V ) = T (U ) + T (V )
T (cU ) = cT (U )
Ejemplo:
La transformación T:R3 → R2 , definida mediante
T ( x, y, z ) = (2 x, y − z )

El dominio de T es R3 y el codominio es R2 .
La imagen del vector (1,4,2) es (2,2)

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Teorema
Sea A una matriz m x n. Sea X un elemento de Rn , interpretado como una matriz columna.
La transformación T:Rn → Rm, definida por T ( X ) = AX , es lineal. En dicha transformación
lineal A recibe el nombre de matriz de transformación.

Ejemplo:
La transformación T:R3 → R2 , definida mediante
T ( X ) = AX

Donde A es la matriz de transformación
⎡x⎤
⎡1 3 − 2 ⎤
⎢ ⎥
A=⎢
⎥ y el vector columna X = ⎢ y ⎥
0
4
1
⎦
⎣
⎢⎣ z ⎥⎦
⎡ x⎤
⎡1 3 − 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ x + 3 y − 2 z ⎤
T (X ) = ⎢
⎥⎢ y⎥ = ⎢
⎥
⎣0 4 1 ⎦ ⎢ z ⎥ ⎣ 4 y + z ⎦
⎣ ⎦

Las imágenes de los vectores

⎛ ⎡1 ⎤ ⎞
⎟ ⎡1⎤
⎜
T ⎜ ⎢⎢2⎥⎥ ⎟ = ⎢ ⎥
⎜ ⎢3⎥ ⎟ ⎣11⎦
⎝⎣ ⎦⎠

⎛ ⎡ − 2⎤ ⎞
⎟ ⎡8⎤
⎜
T ⎜ ⎢⎢ 4 ⎥⎥ ⎟ = ⎢ ⎥
⎜ ⎢ 1 ⎥ ⎟ ⎣17⎦
⎝⎣ ⎦⎠

Ejemplo:
Considere la transformación lineal T definida por la matriz A de 3 x 2. Determine laimagen
de un vector cualquiera bajo T.
⎡1 − 1⎤
⎡5⎤
A = ⎢⎢0 2 ⎥⎥ y el vector columna X = ⎢ ⎥
⎣− 1⎦
⎢⎣1 3 ⎥⎦

La transformación T:R2 → R3 , definida mediante
⎡1 − 1⎤
⎡ x− y ⎤
⎛ ⎡ x⎤ ⎞ ⎢
⎡ x⎤ ⎢
⎥
T ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎟⎟ = ⎢0 2 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 2 y ⎥⎥
⎝ ⎣ y ⎦ ⎠ ⎢1 3 ⎥ ⎣ y ⎦ ⎢ x + 3 y ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦

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la imagen del vector X sería
⎡6⎤
⎛⎡ 5 ⎤⎞ ⎢ ⎥
T ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎟⎟ = ⎢− 2⎥
⎝ ⎣− 1⎦ ⎠ ⎢ 2 ⎥
⎣ ⎦
R2

R3
⎡x− y⎤
⎥
⎢
⎢ 2y ⎥
⎢⎣ x + 3 y ⎥⎦

⎡ x⎤
⎢ ⎥
⎣ y⎦

⎡5⎤
⎢ ⎥
⎣−1⎦

⎡ 6⎤
⎢ ⎥
⎢ − 2⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦

T⎯
⎯→

Ejemplo
Demuestre que la siguiente transformación T : R 2 → R 2 es lineal.
T ( x, y ) = (2 x, x + y )

Solución
Primero se demostrará que T conserva la adición. Sean ( x1 , y1 ) y( x 2 , y 2 ) elementos de
R2 .

T ((x1 , y1 ) + ( x 2 , y 2 )) = T ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )
= (2 x1 + 2 x 2 , x1 + x 2 + y1 + y 2 )
= (2 x1 , x1 + y1 ) + (2 x 2 , x 2 + y 2 )
= T ( x1 , y1 ) + T ( x 2 , y 2 )

por la adición de vectores
por la definición de T
por la adición de vectores
por la definición de T

Por consiguiente T conserva la adición de vectores
Ahora se demostrará que T conserva lamultiplicación por un escalar. Sea c un escalar.
por la multiplicación de un vector por un escalar
T (c( x1 , y1 )) = T (cx1 , cy1 )
= (2cx1 , cx1 + cy1 ) por la definición de T
= c(2 x1 , x1 + y1 ) por la multiplicación de un vector por un escalar
por la definición de T
= cT ( x1 , y1 )
Por lo tanto, T se conserva la multiplicación por un escalar. T es lineal.

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Ejemplo
Determine el rango de la transformación definida por la siguiente matriz.
⎡1 2 3 ⎤
A = ⎢⎢0 − 1 1 ⎥⎥
⎢⎣1 1 4⎥⎦

Solución
A es una matriz de 3 x 3. De esta manera, A define un operador lineal T : R 3 → R 3
T ( x ) = Ax

Los elementos de R 3 se expresan en forma...