U2

ESTADISTICA. FCE. UBA

UNIDAD 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
2.3.1. OPERACIONES CON VARIABLES ALEATORIAS

Dadas dos o más variables aleatorias con distribución de probabilidad conocida,
veremos qué suecede cuando se generan nuevas variables operando con ellas,
por ejemplo X+Y, X2 ó X/Y y especialmente cómo se obtienen sus distribuciones a
partir de las variables iniciales.
Suma de variablesHasta aquí hemos estudiado variables aleatorias unidimensionales o
bidimensionales, sus distribuciones y sus propiedades. Veremos ahora como se
trabaja con variables que surgen de sumas de otras variables y como se
construyen sus distribuciones y la relación entre sus medidas.
Asignación de probabilidad a X+Y
Sean X e Y dos variables aleatorias de las cuales se conoce la distribución
conjunta.Estamos interesados en la distribución de la variable aleatoria S = X + Y.
Para comprender mejor la construcción tomaremos inicialmente el caso de una
variable aleatoria discreta general.
De esta manera interesa estudiar P(S=k)=P(X+Y=k). De esta manera, y según los
valores posibles de ambas variables, se consideraran todos los pares (X,Y)=(a,b)
tales que a+b=k así P(S=k) =P(X+Y=k)=P(X=aY=k-a) porlo que se requiere del
conocimiento de la función de probabilidad conjunta de las variables.
De esto resulta entonces que:
P(S=k) =P(X+Y=k)=P(X=aY=k-a)= P(Y=k-a / X=a).P(X=a)
Con esta definición de asignación de probabilidad, es posible estudiar cómo
pueden obtenerse esperanza y varianza de X+Y y cómo éstas se vinculan con las
de X e Y.
Vale decir que para trabajar con variabes continuas, seprocede en forma análoga
trabajando sobre sus densidades marginales y conjunta. Luego veremos casos
particulares para poder seguir la dinámica de construcción de la distribución.
Propiedades de Esperanza y Varianza
1) E(X+Y)=E(X)+E(Y) para cualquier par de variables X e Y.
2) Corolario de la anterior: E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
3) V(X+Y)= V(X)+V(Y)-2Cov(X,Y) para cualquier par de variables X e Y.
4)Corolario de la anterior:
V(X+Y)= V(X)+V(Y) para variables X e Y
independientes.
Verificar estas propiedades teniendo en cuenta que por definición:
Prof. LAURA POLOLA

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E(S)= ∑
que resulta ∑
2
V(S)= E(S-E(S)) = E(S2)-E(S)2

∑

y

Ejemplo 1: para una variable discreta
Sean X ~ P(λ) e Y ~ P(θ), dos variables aleatorias independientes y sea S = X + Y.
Claramente el recorrido dela variable S es el conjunto RS= {0,1, 2,...}.
Sea k∈RS para analizar P(X + Y = k) veamos que:
X,Y
0
1
2
…
k-1
k
…

0

1

2

…

k-1
k-1
k

k
k

…

K
k
k-1
k

k
k+1

entonces
P( X  Y  k )  pXY (0, k )  pXY (1, k  1)  ...  pXY (k  1,1)  pXY (k,0) 
=

p

0 j k

XY

( j, k  j ) 

P( X  Y  k ) 

p

0 j  k

X

resulta

( j ).pY (k  j ) ya que X e Y son independientes. Entonces

e   j e  k  j e (   )
 j ! . (k  j )!  k !
0 j k



0 j k

k!
e (   )
 j k  j 
(   )k
j !(k  j )!
k!

Desarrollo del Binomio de Newton
para ( + )k

Por lo tanto, S = X + Y tiene distribución de Poisson de parámetro λ + θ dada la
estructura de su función de probabilidad, o sea que
X + Y ~ P(λ + θ)
Este resultado se extiende por inducción al caso de n variables:
 SiX1,..., Xn son v.a. independientes tales que Xi ~ P(λi) para i = 1,...,n, entonces
X1 +...+ Xn ~ P(λ1 + ...+λn)
Conclusión: la suma de variables con distribución de Poisson genera una nueva
variable con distribución de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros
de las respectivas distribuciones.
Otras variables discretas
 Si X e Y son variables aleatorias binomiales con X ~ Bi (n 1; p)e Y ~ Bi (n2; p)
entonces X+Y~ Bi (n1+ n2; p).
 Como caso particular del anterior si X e Y son variables aleatorias de Bernoulli
con parámetro p, o sea X ~ Be (p) e Y ~ Be (p) entonces X+Y~ Bi (2; p)
Prof. LAURA POLOLA

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Las demostraciones de estas propiedades son similares a la que desarriollamos
en el ejemplo.
Ejemplo 2: para una variable continua
Sean X e Y v.a....