U2

ESTADISTICA. FCE. UBA

UNIDAD 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
3. CONVERGENCIA Y MOMENTOS
DE VARIABLES ALEATORIAS

Convergencia de variables aleatorias
La noción de convergencia surge del concepto de límite y se aplica tanto a
sucesiones numéricas como a sucesiones de funciones, de conjuntos o de otros
objetos matemáticos en general.
Dentro de esos mismos estándares existe un caso particular deconvergencia
denominada convergencia estocástica donde los límites estudiados incluyen a las
probabilidades.
Describiremos a continuación las nociones de convergencia en distribución y la
convergencia en probabilidad.
Convergencia en distribución
Sea {Xn; n ≥ 1} una sucesión de variables aleatorias con funciones de probabilidad
fn(x) y una variable aleatoria X con función de probabilidad f(x),diremos que (Xn)
converge en distribución a la variable aleatoria X si:

lím fn ( x )  f ( x )

n 

x

d
Notación: X n 
X

Interpretación: La convergencia en distribución puede entenderse como una
transformación sucesiva de una sucesión de funciones, a medida que n crece, que
se estabilizan “punto a punto” aproximándose a una función límite.
La posibilidad de evaluar aproximaciones endistribuciones permite trabajar con
modelos -no exactos pero sí adecuados- que describan el comportamiento de
variables aleatorias y así llegar al cálculo de probabilidades bajo ciertas
condiciones.
Enseguida aplicaremos este concepto en casos particulares de interés.
Convergencia en probabilidad
Sea {Xn; n ≥ 1} una sucesión de variables aleatorias, diremos que (Xn) converge
en probabilidad a la variablealeatoria X si:

lím P  X n  X     0

n 

ó equivalentemente lím P  X n  X     1
n 

 >0
 >0

p
X
Notación: X n 

Prof. LAURA POLOLA

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Esta noción de convergencia no establece relación entre las distribuciones de las
variables, pero sí la proximidad de los valores que adoptan las Xn en torno al valor
de la variable X que resulta ser el límite de lasucesión. Este concepto se aplicará
en propiedades y teoremas que veremos en la próxima unidad.
Aproximaciones que surgen de la convergencia en distribución
De las distribuciones vistas pueden mencionarse algunas relaciones interesantes
que las vinculan, ya que algunas de ellas surgen como límite de una sucesión de
variables aleatorias.
Por ejemplo, al considerar distribuciones binomiales, tipoB(n,p), para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que el gráfico de las sucesivas
funciones de probabilidad adoptan un formato “acampanado” y esto se debe a que
a medida que n crece, la distribución binomial resultante se aproxima a la
distribución normal.
Aproximación de la Binomial por la Normal (Teorema de De Moivre)
Dada una variable aleatoria con distribución Binomial B(n,p), bajo determinadas
condiciones como:
n grande y tanto p como q no estén próximos a cero
se puede aproximar la distribución de X mediante una distribución normal
N(np, npq ) es decir que
Xn

ó equivalentemente:

d
B(n, p) 
X

Z

X  np
npq

N(np, npq )

 N(0;1)

Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más
próximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximaciónrealizada. Es decir, basta
con que se verifique
np ≥ 5 y nq ≥ 5
gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para
valores grandes de n resulten muy tediosas de calcular.
Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformación de
una variable discreta como la binomial en una variable continua normal es
necesario hacer una corrección de continuidad.Así:

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De esta manera, cada valor individual de la variable discreta, se identifica con un
intervalo centrado en él de radio r = 0,5 y asi se logra la corrección de los valores
para el cálculo de probabilidades.
En resumen:

Aproximación de la Binomial por la distribución de Poisson
Dada una variable aleatoria con distribución Binomial B(n,p), bajo...