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ESTADISTICA. FCE. UBA

UNIDAD 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
VARIABLES ALEATORIAS GENERALES
1. Introducción al concepto de variable aleatoria
Definición de variable aleatoria: Se llama variable aleatoria a toda aplicación X que
asocia a cada elemento del espacio muestral (E) de un experimento, un número
real o bien un punto en el plano o en el espacio n-dimensional.
Es decir que X: E → Rn conn≥1
Rango ó recorrido de la variable aleatoria: es el conjunto de valores que adopta la
variable. En términos de funciones, el rango es la imagen de la variable aleatoria.
Se denota como Rx
Pueden considerarse entonces las variables aleatorias unidimensionales como
también las variables bidimensionales o multidimensionales, en general.
Ejemplo 1: Consideremos el experimento que consiste en lanzartres veces una
moneda al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será:
E={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}
Definimos la variable aleatoria X como el número de caras, estamos asociando a
cada suceso un número, así:
X(CCC)=3

X(CCX)=2

X(XXC)=1

X(XXX)=0

Aquí Rx = {0; 1; 2; 3}
Ejemplo 2: Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado dos
veces. El espacio muestralserá:
E={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3)
(3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) }
Definimos la variable aleatoria X como la suma de los valores obtenidos, entonces
X((1,1))=2

X((3,4))=7

X((2,6))=8

X((5,6))=11

En este caso Rx = {2; 3; … 10; 11; 12}
Ejemplo3: Un estudio estadístico quiere conocer la duración de un conjunto de
lámparas, para ello se define la variable aleatoria X = "duración de la lámpara". La
variable aleatoria así definida es una variable continua pues puede tomar
cualquier valor mayor o igual que 0, o sea que R x = R+0
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Ejemplo 4: Una panificadora desea conocer qué peso tienen lasbarras de pan. La
máquina fabrica piezas con pesos comprendidos entre 225 gr y 275 gr La variable
aleatoria X= "Peso de la barra de pan" tomaría valores en el intervalo [225, 275]
que resulta ser su rango Rx.

Clasificación de variables
Las variables aleatorias se pueden clasificar según el campo de los valores que
adopta, ya que por tratarse de un valores numéricos, pueden ubicarse en la rectanumérica generando distintos tipos de conjuntos. Lo mismo sucede en el espacio
n-dimensional.
Se dice que una variable aletoria es discreta, si adopta un número finito o infinito
numerable de valores o continua si dado un intervalo real (a,b) la variable puede
tomar cualquier valor comprendido entre a y b, si es unidimensional. En caso de
ser una variable multidimensional puede extrapolarse esta nociónde continuidad a
conjuntos del tipo A1 x A2 x …. x An con Ai intervalos reales para todo valor de i, al
cual pertenezcan los valores de la variable.
En resumen, las variables aleatorias se clasifican:
Según la dimensión de su rango Según el tipo de valores
•
Discreta
Unidimensional
•
Continua
•
Discreta
Bidimensional o
•
Continua
n-dimensional
•
Mixta

2. Variables aleatorias unidimensionalesVariable aleatoria discreta.
Dada una variable aleatoria dijimos que es discreta si toma un número finito o
infinito numerable de valores.
Ejemplo: X = Número de veces que debe lanzarse una moneda hasta obtener una
cara.
En este caso el espacio muestral resulta ser E = {C, XC, XXC, XXXC, …}, o sea
es un conjunto infinito numerable, ya que no es posible predecir un número
máximo de lanzamientos quegaranticen que va a salir una cara. Por esta razón el
rango RX = {1, 2, 3, 4, …}
Función de probabilidad
Dada una variable aleatoria discreta X llamaremos función de probabilidad a
aquella que asocia un valor de probabilidad a cada valor de la variable aleatoria,
así P: RX → [0;1]
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Si la variable aleatoria discreta X toma valores x i la función de...