Unidad 4 calculo integral

Índice

1.- Series 2
Algunos tipos de series 2
Sumas conocidas 3
Divergencia 4
Relaciones heurísticas de suma 5
Estabilidad y linealidad 5
Producto de Cauchy 6
2.-Series numéricas y de convergencia: 8
3.-Series de potencias: 8
Definición 8
Ejemplos 9
4.-Series de Taylor: 9
5.-Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor: 11

1.- Series
1.1.-Seriesfinitas:
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .
Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger sipara algún .
Algunos tipos de series
* Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

* La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.
* Una serie alternada es una seriedonde los términos alternan el signo. Ejemplo:

* Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

* Una serie hipergeométrica[1] es una serie de la forma , que cumple que = .
Sumas conocidas

1.2.-Series infinitas:
En matemáticas, la expresión 1 − 2 + 3 −4 + · · · es una serie infinita cuyos términos son los números enteros positivos, que van alternando sus signos. Utilizando notación matemática para sumatorias, la suma de los primeros m términos de la serie se expresa como:

Es una serie divergente, en el sentido de que la sucesión de sus sumas parciales (1, −1, 2, −2, …) no tiende a ningún límite finito. En forma equivalente se dice que 1 − 2+ 3 − 4 + · · · no posee suma.
Sin embargo, a mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler descubre la siguiente relación calificándola de paradójica:

No será hasta mucho tiempo después que se logra dar con una explicación rigurosa de dicha relación. Hacia comienzos de la década de 1890, Ernesto Cesàro y Émile Borel entre otros, investigaron métodos bien definidos para encontrar sumasgeneralizadas de las series divergentes – incluyendo nuevas interpretaciones de los intentos realizados por Euler. Muchos de estos métodos denominados de sumación le asignan a (1 − 2 + 3 − 4 + · · ·) una "suma" de 1⁄4. El método de suma de Cesàro es uno de los pocos métodos que no suma la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, por lo que esta serie es un ejemplo de un caso donde debe utilizarse un método más robustocomo por ejemplo el método de suma de Abel.
La serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · se encuentra relacionada con la serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Euler analizó estas dos series como casos especiales de (1 − 2n + 3n − 4n + · · ·) para valores de n arbitrarios, una línea de investigación que extiende su contribución al problema de Basilea y conduce a las ecuaciones funcionales de lo que conocemoshoy como la función eta de Dirichlet y la función zeta de Riemann.
Divergencia
Los términos de la sucesion, (1, −2, 3, −4, …), no se aproximan al 0; por lo tanto la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · diverge según el test del término. Como base de los análisis en secciones subsiguientes, es útil analizar la divergencia en un nivel más fundamental. Por definición, la convergencia o divergencia de unaserie infinita se determina analizando la convergencia o divergencia de la sucesión de sus sumas parciales, y en este caso las sumas parciales de 1 − 2 + 3 − 4 + · · · son:[1]
1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
…
Esta sucesión se destaca por contener una vez a cada uno de los números enteros —aún al cero si se cuenta a la...