M todos num ricos para la resoluci n de sistemas de ecuaciones lineales
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Publicado: 24 de agosto de 2015
Métodos numéricos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos numéricos existen dos métodos los cuales son los másimportantes, estos son el método de Jacobi y el método Gauss-Seidel, serán expuestos a continuación.
Método de Jacobi:
En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado pararesolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.
Lasucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente:
Donde
, es una matriz diagonal.
, es una matriz triangular inferior.
, es una matriz triangular superior.
Partiendode, podemos reescribir dicha ecuación como:
Luego,
Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:
donde es el contador deiteración, Finalmente tenemos:
Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puedesobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínimade almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.
Métodos de Gauss-Seidel
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativoutilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunqueeste método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones...
Para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos numéricos existen dos métodos los cuales son los másimportantes, estos son el método de Jacobi y el método Gauss-Seidel, serán expuestos a continuación.
Método de Jacobi:
En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado pararesolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.
Lasucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente:
Donde
, es una matriz diagonal.
, es una matriz triangular inferior.
, es una matriz triangular superior.
Partiendode, podemos reescribir dicha ecuación como:
Luego,
Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:
donde es el contador deiteración, Finalmente tenemos:
Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puedesobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínimade almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.
Métodos de Gauss-Seidel
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativoutilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.
Aunqueeste método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones...
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