Álgebra Lineal

4.1 Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial es una terna (V,+, •), donde V es un conjunto
no vacío y +, • son dos operaciones del tipo + : V × V → R, • : R × V → V a las
que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con
las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y •(λ, v) = λv,
1. u + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v,w ∈ V (asociativa).2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).
3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).
4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto).
5. λ(μv) = (λμ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, μ ∈ R (seudo-asociativa).
6. λ(u+v) = λu+λv y (λ+μ)v = λv+μv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, μ ∈ R (distributiva).
7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).
De forma abreviada, diremos que V es un espaciovectorial. A los elementos de V
lo llamamos vectores y a los de R, escalares. 
4.2 Subespacio vectorial y sus propiedades
El algebra lineal un subespacio vectorial es un conjunto de un subespacio vectorial, que debe cumplir ciertas características especificas.
Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si S < V.
Dehecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también que también son espacios vectoriales.
Condición de existencia de subespacio
El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.
Para ello sedefinen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:
S no es un conjunto vacío
S es igual o está incluido en V
La suma es ley de composición interna
El producto es ley de composición externa.
Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.
Suma:
Sea(V; K; +; •) y sean S1 y S2 dos subespacios de V.
Se llama suma de S1 y S2 al conjunto:
S1 +S2= {s1+ s2/ s1∈S1, s2∈ S2}
Teorema: El conjunto S1 + S2 es un subespacio de V; es el menor de todos los subespacios que contienen a S1 y S2.
Unión:
S1 υ S2 = {α ∈V /α ∈ S1 ^α∈ S2} En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley decomposición interna. Pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S1 este contenido en S2 o viceversa.
4.3 combinación lineal, independencia lineal
Una combinación lineal de dos o mas vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Independencia lineal.
Varios vectores libres son linealmente independientes sin ninguno de ellospuede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
Los vectores linealmente independientes tienen diferente dirección y sus componentes no son proporcionales.



 
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base
Un conjunto de vectores {v1, v2, v3, …, vn} forma una base para V si :
{v1, v2, v3, …, vn} son linealmente independientes
{v1, v2, v3, …, vn} genera a VSe llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces todas las bases de V tienen el mismo número de elementos. El espacio vectorial {0} tiene dimensión 0 por definición.
Cuando un espacio vectorial no es dedimensión finita, se dice que es de dimensión infinita.
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, cualquier conjunto de n+1 o más vectores son linealmente dependientes.
Base canónica
La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ
e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)........en = (0,0,. . . ,1)
Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
Son sistema...