1100 Coordenadas Polares PearsonMatematicas Simplificadas CONAMAT 2 Ed

CAPÍTULO
COORDENADAS

POLARES

12

Reseña

HISTÓRICA

S

e sabe muy poco de la vida de Nicomedes, incluso para establecer el
periodo en el que vivió hay que hacerlo con referencias indirectas. Se sabe que
Nicomedes criticó la duplicación del cubo
de Eratóstenes (276 a. C.–194 a. C.) y que
Apolonio (262 a. C.–190 a. C.) también
habló de Nicomedes.

Nicomedes
(280 a. C. – 210 a. C.)

Es famoso porsu tratado Las líneas de la concoide, y quiso utilizar la concoide para solucionar los problemas clásicos de la trisección del ángulo y
la duplicación del cubo.
4 y
y

4

2
2

0

x

0

–6
- 6

–4
- 4

0

–2
- 2

0

–2
- 2

–4

- 4

2

2

4

4

6

6

x

12 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Sistema polar
El sistema polar es similar al cartesiano, su objetivo es la representación gráfica deelementos geométricos utilizando
pares coordenados de magnitud y dirección, mediante un segmento y un ángulo, tal segmento recibe el nombre de
radio vector y el ángulo argumento.
La recta OA y el punto P forman un marco de referencia,
como los ejes coordenados en el sistema cartesiano.

L
P (r, q)

OP = r: radio vector
u: Argumento

r

O: polo
OA: Eje polar
L: Eje

A

O

p
2

Gráfica de un punto encoordenadas polares
Un punto P(r, q) en coordenadas polares se grafica a r unidades del polo sobre un rayo que se llama lado terminal
conocido también como radio vector que forma el argumento q.
El argumento de un punto cuyas coordenadas son polares, se considera positivo si es en sentido contrario a las
manecillas del reloj y negativo si es en el mismo sentido de las manecillas del reloj.Ejemplos
P(3, −135°)

P(4, 30°)

r =3

r =4
q = 30°
q = −135°

P(3, −45°)

P(5, 240°)
q = 240°

q = −45°
r =5

r =3

1076

GEOMETRÍA

CAPÍTULO 12

ANALÍTICA •

Coordenadas polares

La representación gráfica de un par de coordenadas polares, no son únicas, es decir, hay otros valores coordenados que
definen este mismo punto. Como verás a continuación:
P(4, −300°)

P(4, 60°)

r =4

r =4

q = 60°

q =−300°
P(4, 420°)

r =4

q = 420°
Hay puntos cuya coordenada r se extienden en sentido opuesto al lado terminal del ángulo, que se denota como –r,
entonces las coordenadas del punto tendrán la forma P(–r, q), cabe mencionar que esto no significa que r sea negativa,
sólo se designa de este modo a la distancia del lado terminal en esta dirección.

Ejemplos:
P(–5, 45°)

P(–4, –120°)

r =5

r = −4

q =45°

r =4

r = −5

1077

q = −120°

12 CAPÍTULO
MATEMÁTICAS

SIMPLIFICADAS

Conversión de un punto en coordenadas polares
I. Sea el punto (r, u), entonces su equivalente es (– r, u + π )
II. Sea el punto (– r, u), entonces su equivalente es (r, u – π )

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina un punto equivalente a (– 2, 45°), cuyo radio vector sea positivo.
Solución
Se aplican las equivalencias,
(– 2,45°) = (2, 45° – 180°) = (2, – 135°) = (2, 225°)

2

Encuentra un punto equivalente a (3, 215°), cuyo radio vector sea negativo.
Solución
Se aplican las equivalencias,
(3, 215°) = (– 3, 215° + 180°) = (– 3, 395°) = (– 3, 35°)

3

Calcula un punto equivalente a (–5, – 60°), cuyo radio vector sea positivo.
Solución
Se aplican las equivalencias,
(– 5, – 60°) = (5, – 60° – 180°) = (5, – 240°) = (5,120°)

Relación entre las coordenadas rectangulares y polares
Las coordenadas polares representan a los puntos del plano en función de su distancia al origen y su ángulo de inclinación medido respecto a la horizontal.
P(r, u)
Donde r: distancia del punto al origen.
u: Ángulo de inclinación.
Las coordenadas rectangulares (x, y) y las polares (r, u) de un punto P se relacionan como sigue:
Por el teoremade Pitágoras
Y
r2 = x2 + y2 S r = ± x 2 + y 2
En el triángulo rectángulo OAP

P(x, y)
P(r, q)

cos u =

x
S x = r cos u
r

sen u =

y
S y = r sen u
r

tan u =

⎛ y⎞
y
S u = tan–1 ⎜⎝ x ⎟⎠
x

r

y
q
O

x

A

X

1078

GEOMETRÍA

CAPÍTULO 12

Coordenadas polares

ANALÍTICA •

Transformación de un punto en coordenadas polares a rectangulares
Ejemplos

EJEMPLOS

1

Determina las coordenadas...