24 5.- División de un segmento en una razón dada

30
( )( )( )
9023012
y
+ −=+
;90603033
x
−= =
; x = 10.Lo que significa que el otro poste debe colocarse en el punto C(0, 10).Las soluciones encontradas se muestran en la siguiente figura:6.- Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices.
Área de una región triangular.
Sean
111222
(,),(,)
PxyPxy
y
333
(,)
Pxy
los vértices de un triángulo, su área sepuede obtener sumando lasáreas de los trapecios
1331
QQPP
y
3223
,
QQPP
y restando el área del trapecio
1221
QQPP
. Dichos trapecios seforman trazando perpendiculares de los vértices deltriangulo al eje
x
.El área de un trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases (lados paralelos); por lo tanto el área del triangulo
123
PPP
es:

31
A
= área deltrapecio
1331
QQPP
+ área del trapecio
3223
QQPP
- área del trapecio
1221
QQPP
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
311323322112
111()222
Axxyyxxyyxxyy
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠

( )
311323321221
12
Axyxyxyxyxyxy
= − + − + −
El área resultante se expresa en una forma mas fácil por:(-)X1 Y1A =12X2 Y2
( )
311323321221
12
xyxyxyxyxyxy
= − + − + −
X3 Y3X1Y1Esta fórmula también se emplea para determinar el área de cualquier polígono. Se hace notar que el primer renglón se ha repetido al final con el fin de facilitar la operación.Si los vértices seordenan en la fórmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el árearesultante es de signo positivo; en caso contrario será negativa.
Ejemplos:
1.

Calcular el área del triángulocuyos vértices son: D(3, 4) , E(2, -1) , F(-3, 5).(-)3 4A =122 -1
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
13435253131242
= − − + − − − + − −
-3 5
( )
11215103382
= − − + − − −
3 4
( )
21313115.522
u
= − = − =
(unidades cuadradas).2.

Hallar el área del polígono si las coordenadas de sus vértices son: A(-8,2) , B(-1,5) , C(7,-1) yD(-2,-6).(-)(-)(+)(+)(+)(-)(-)(+)(+)(+)...