2mb Vectores

´ n de los estudios de
Apoyo para la preparacio
Ingenier´ıa y Arquitectura
´ n a la Universidad)
F´ısica (Preparacio

Unidad 4: Vectores

´cnica de Madrid
Universidad Polite
5 de marzo de 2010

2

4.1.
4.1.1.

Planificaci´
on de la unidad
Objetivos

1. Clasificar las magnitudes m´as importantes en escalares y vectoriales.
2. Expresar un vector en sus componentes y operar con los vectores.
3.Conocer las propiedades del producto escalar.
4. Conocer las propiedades del producto vectorial.
5. Utilizar los productos escalar y vectorial para calcular distancias, a´reas, etc de inter´es
en geometr´ıa.

4.1.2.

Actividades

1. Lectura del resumen del tema
2. Realizaci´on del cuestionario.
3. Realizaci´on de los ejercicios
4. Actividades complementarias
a) Buscar informaci´on sobre vectores eninternet.
b) Redactar una peque˜
na rese˜
na (m´aximo 1 p´agina).

4.1.3.

Bibliograf´ıa

1. Libros de primero y segundo de Bachillerato.
2. Libros de primero y segundo de Bachillerato de Matem´aticas.
3. P.A. Tipler y G. Mosca, F´ısica para Ciencias e Ingenier´ıa”, 5a Edici´on, Editorial
Revert´e, 2005.

4.1.4.

Enlaces relacionados

1. Proyecto Descartes (Matem´aticas ESO y Bachillerato)::Descartes: http://descartes.cnice.mec.es/
2. P´agina web con actividades de vectores: http://www.xtec.cat/~jbartrol/vectores/
index.html

4.2. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

4.2.

3

Magnitudes escalares y vectoriales

Una magnitud escalar est´a determinada completamente por un u
´nico n´
umero con las
unidades apropiadas y no tiene direcci´on, ni sentido. Una magnitud vectorial est´a determinadacompletamente por un n´
umero con las unidades apropiadas (m´odulo), una direcci´on
y un sentido
Un ejemplo lo tenemos en la figura 4.1 Una part´ıcula viaja de A a B a lo largo del
camino representado por la l´ınea roja discontinua esta es la distancia que ha recorrido y
es un escalar El desplazamiento es la l´ınea negra continua de A a B El desplazamiento
es independiente del camino que tomemosentre ambos puntos El desplazamiento es un
vector.

Figura 4.1: Ejemplo de vector

4.3.

Sistemas de referencia

Se utilizan para describir la posici´on de un punto en el espacio. Un sistema de coordenadas consiste en:
un punto de referencia que llamaremos origen
ejes espec´ıficos con escalas y etiquetas
instrucciones de c´omo designar un punto relativo al origen y a los ejes
Existen variossistemas de coordenadas de inter´es en los problemas de la F´ısica. El
sistema m´as utilizado es el sistema de coordenadas cartesianas, bien en el plano o en el
espacio. Tambi´en resultan de inter´es las coordenadas polares en el plano, las coordenadas
cil´ındricas y esf´ericas en el espacio.

4

Figura 4.2: Sistemas de coordenadas cartesianas

4.3.1.

Sistema de coordenadas cartesianas en el planoTambi´en llamado sistema de coordenadas rectangular. Consta de dos ejes x e y que se
cortan en el origen, formando un a´ngulo recto. Los puntos se designan (x, y)

4.3.2.

Sistema de coordenadas polares en el plano

Es necesario definir un origen y una l´ınea de referencia El punto se define como la
distancia r desde el origen en direcci´on del ´angulo θ, en direcci´on antihoraria desde la
l´ınea dereferencia. Los puntos del plano se denotan como (r, θ)
Para hacer el cambio de coordenadas entre coordenadas cartesianas y polares en el
plano, construimos un tri´angulo rect´angulo a partir de r y θ
x = r cos θ
y = r sen θ
Para hacer el cambio inverso, tomamos r como la hipotenusa y θ como el a´ngulo con
el eje.
y
x
x2 + y 2

tan θ =
r=

θ se toma en sentido antihorario desde el eje X positivo4.3. SISTEMAS DE REFERENCIA

Figura 4.3: Sistemas de coordenadas polares

Figura 4.4: Cambio de coordenadas cartesianas a polares

5

6

4.3.3.

Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio

Se a˜
nade un eje Z perpendicular a los ejes X e Y de las coordenadas cartesianas en
el plano. Los puntos se denotan con las coordenadas (x, y, z).

4.3.4.

Coordenadas esf´
ericas

Las coordenadas...