Algebra lineal

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE LOS MOCHIS

MATERIA:
ALGEBRA LINEAL

TEMA:
DEFINICION DE SUBESPACIOS VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES

UNIDAD 4.-

4.2.- DEFINICION DE SUBESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDAES

-SUBESPACIOS Y ESPACIOS GENERADOS.

-ESPACIO VECTORIAL.

-PROPIEDADES.

-BIBLIOGRAFIAS.

SUBESPACIOS Y ESPACIO GENERADO

Si A es una matriz m x n, entonces el espacio solución delsistema homogéneo de ecuaciones AX=0 es un espacio vectorial. Además, el espacio solución es un subconjunto del espacio vectorial, Mny de todas la matrices N X 1 con las mismas operaciones vectoriales que el espacio Mny A un conjunto que tenga estas propiedades se le llama subespacio de un espacio vectorial dado.
DEFINICIÓN 1.- Sea V un espacio vectorial y S un subconjunto no vacio de V.Entonces S es un subespacio de V si S es un espacio vectorial con las mismas operaciones de adición y multiplicación por escalar definidas en V.

EJEMPLO 1.- Sea A una matriz M X N. Entonces el espacio solución de AX=0 es un subespacio del espacio vectorial Mn.
Si U +V pertenece a S, entonces, como U+V=V+U en V, U+V y V +U debes representar también el mismo vector en S. Por lo tanto U+V=V+U en S. Deuna manera semejante se puede demostrar que U+ (V+W)= (U+V)+W en S y que las propiedades 7-10 de la definición de espacio vectorial se cumplen en S. Por consiguiente, si S es un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V, S será un subespacio de V si se puede demostrar que se cumplen las propiedades 1, 2,5 y 6 de la definición.

Ejemplo 2:
Sea V un espacio vectorial. El subconjunto (0) cuyoúnico elemento es 0, es un subespacio de V. esto es cierto debido a que 0+0=0, y c0=0 par todo numero real c. por consiguiente, satisfacen las dos propiedades de cerradura. El subespacio 0 se llama subespacio trivial nulo (o cero).

Ejemplo 3:
Todo espacio vectorial es un subespacio de si mismo. Las propiedades de cerradura obviamente se cumplen.
Los dos espacios 0 y V de un espaciovectorial de V no son muy interesantes como subespacios. Un subespacio de V distinto de 0 y V se llama subespacio propio

Ejemplo 4:
El conjunto S de todas las matrices diagonales 2x2 es un subespacio del espacio m23 de todas las matrices 2x2.

Ejemplo 5. El conjunto Pn , de todos los polinomios de grados n es un subespacio de pn es n < m.

Solución. Del ejemplo 10 de la secc. 6.1 se sabe que Pn yPm son espacios vectoriales. Puesto que Pn es un subconjunto de Pm, entonces es un subespacio de Pm.

Problema 3. Sea S el conjunto de todos los polinomios de grado < n tales que el coeficiente de xn es igual a 1.determine si S es un subespacio de Pn. Explique.

Ejemplo 6. Sea D (0, 1) el conjunto de todas las funciones que son diferenciables en el intervalo (0, 1). Entonces puesto que todafunción diferenciable es continúa D (0,1). Es un subconjunto de C (0, 1).

Solución. El conjunto D (0, 1) no es vacío, ya que Y = f(x) = 0 se encuentra en el. Sean ahora f(X) y g(X) elementos de D (0, 1). Se bebe mostrar que f(x) + g(x) y c(x) pertenecen a D (0, 1).

Ejemplo 10.
1 1 1 1 2 0 0 2
Determinar si las matrices

00 , 3 0 , 0 3 0 -1

Generan el espacio vectorial M=de las matrices 2 x 2.

a b
Solución. Sea una matriz 2 x 2 arbitraria. Nuestra meta consiste en ver

c d

si hay escalares X1, X2, X3, y X4 tales que

1 1 11 2 0 0 2 a b

X1 + X2 + X3 + X4 =
0 0 1 0 0 3 -1 0 c d

O, de manera equivalentes tales que

X1 – X2 + 2X2 X3 + X2 + 2X4 a b...
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