Algebra Lineal

ASIMOV

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MATRICES - Resumen Teórico polenta
Este práctico se trata todo de matrices. A no asustarse, que tan sólo se trata de una forma eficiente y práctica de poner juntos muchos datos para manejarse más fácil a la hora de resolver problemas. Ahora manos a la masa, repasemos algunas propiedades de las matrices: OPERACIONES Veamos que tipo de operaciones podemos realizar entrematrices ... • SUMA entre matrices: lo que tenés que recordar cuando te toque resolver algo por el estilo, es que la suma es coeficiente a coeficiente. ¿ Que qué quiero decir?... veamos un ejemplo facilito: 1 2  5 6  1+ 5 2 + 6  6 8    3 4  +  7 8  =  3 + 7 4 + 8  = 10 12                 Fijate que se suman los elementos que ocupan el “mismo lugar” en cada una de lasmatrices ... se ve? En la SUMA se cumple que: 1. Es conmutativa (acordate ”el orden de los factores no altera el resultado”).  5 6 1 2  5 +1 6 + 2  6 8    7 8  +  3 4  =  7 + 3 8 + 4  = 10 12                 Notá que el resultado es el mismo del ejemplo anterior a pesar que sumamos las matrices en distinto orden. entonces A + B = B + A 2. Es asociativa.

1 1  1 2  5 6  1 1  6 8   7 9     1 1 +  3 4  +  7 8  = 1 1 + 10 12  = 11 13                       1 1  1 2   5 6   2 3   5 6   7 9     +  = + =    +          1 1  3 4   7 8   4 5   7 8  11 13 
entonces A + [B + C] = [A + B] + C

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3. El elemento neutro es la matriz nula.  0 0  1 1  1 1    0 0  +  1 1 =  1 1           4. Existe la opuesta de una matriz. 1 2   −1 − 2   0 0  3 4 +  − 3 − 4 =  0 0            llegamos al elemento neutro PRODUCTO por un escalar: cuando multiplicás una matriz A por un escalar k, el resultado será una matriz cuyos elementos serán k veces los de A. Veamos un ejemplo: 1 2  5 10  A= y k =5 ⇒ k.A=  3 4  15 20       Se cumple: 5. Es asociativo.  5 6   15 18   5 6  3.  7 8  =  21 24  =  7 8 .3            entonces k.A = A.k 6. Es distributivo. •

 1 2   5 6   6 8   18 24  3.  3 4  +  7 8  = 3.10 12  =  30 36                
1 2  5 6   3 6   15 18   18 24  3.  3 4  + 3. 7 8  =  9 12  +  21 24  = 30 36                     entonces k.[A + B] = k.A + k.B • PRODUCTO entre matrices: ¿Cuándo es posible multiplicar matrices? Para que el producto de matrices tenga sentido, debe cumplirse que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda. El resultado?: otra matriz con tantas filas como la primera y columnas como la segunda. An x p x B p xq = C n x q

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En esta ecuación, A tiene n filas y p columnas, B tiene p filas y q columnas, y su producto, C, tiene n filas y q columnas. Ahora, cómo lo hacemos?! Veámoslo en el caso de que A es 2 x 3 y B es 3 x 2.

a  A =  11  a21

a12 a22

a13   a23  

 b11  B =  b21 b  31

b12   b22  b32  

Esto puede parecer un poco complicado, pero setrata en realidad de acostumbrarse, ¿de dónde sale?, fijate que básicamente el producto de matrices consiste en multiplicar toda una fila por toda una columna “lugar a lugar” , por lo que por esto es necesario que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. Si A . B = C, entonces ya sabemos que C va a ser una matriz 2 x 2 ... de acuerdo?
c C =  11 c  21 c12  c 22  

A cada elemento de la matriz C hay que calcularlo de la siguiente manera: cij = Σ aikbkj Aquí la sumatoria es sobre el subíndice k, y se debe sumar sobre este índice hasta el número de columnas de la primera matriz (igual al número de filas de la segunda matriz). En este caso se suma desde k = 1 hasta k = 3, pero si tuviéramos otro producto, A2 x 4 x B 4 x 2 = C 2 x 2 Deberíamos...