Algebra Lineal
Páginas: 7 (1603 palabras)
Publicado: 15 de septiembre de 2013
El Método Simplex.
Breve repaso Algebra Lineal
Justificación
Las matrices son una herramienta importante en las
representación de ideas matemáticas. Sus aplicaciones
alcanzan todas las ramas de matemáticas y ciencias.
El conceptos de matriz es tan importante que existe toda
una rama de las matemáticas que trata exclusivamente
el estudio de las matrices, esta se conoce como el álgebralineal. Veremos en este breve repaso los conceptos generales
de matrices y las aplicaciones a la solución de sistemas
de ecuaciones lineales.
Álgebra de Matrices
Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números que forman la matriz se
llaman entradas o elementos y se escriben dentro de paréntesis.
Las matrices se identifican con letras mayúsculas.
Ejemplosde matrices:
2 3
A=
4 5
3 −1 −3
B = 3 2 −2
4 0 5
3 2 0
C=
4 1 −3
Las líneas horizontales de números se conoce como filas y
las verticales como columnas.
3 2 0
C=
4 1 −3
columna
fila
Al número de filas por el número de columnas de una matriz
se le llama el orden o tamaño de la matriz.
2 3
A=
4 5
3 −1 −3
B = 3 2 −2
4 0 5
3 2 0
C=
4 1 −3
Matriz 2x2
Matriz 3x3
Matriz 2x3
Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas.
Definición de matriz mxn:
Un arreglo rectangular de números que tiene m filas y n
columnas se conoce como una matriz m x n.
a11
a
21
a31
A=
:
am1
a12
a22
a13a23
....
...
a32
a33
...
:
...
am 3
...
:
:
am 2
a1n
a2 n
:
:
amn
Los elementos de la matriz se expresan de la forma aij donde i
corresponde a la posición de la fila y j corresponde a la posición
de la columna. Una matriz mxn se suele escribir en la forma
general abreviada,
A = aij
mxn
o A = aij
Definición :
Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los
mismos elementos.
Ejemplo:
x y 1 1 3 1
Si
= 4 −1 v entonces x = 1; y = 3;
z −1 5
z = 4; v = 5
Definición :
La transpuesta de una matriz mxn, A es la matriz nxm cuya
fila i es la columna j de A. La transpuesta de A se denota
por AT
Ejemplo:
0 4
0 3 1
Si A=
entonces AT = 3 −1
4 −1 4
1 4
Matrices especiales:
Matrices especiales:
1. La matriz cero
Una matriz mxn cuyas entradas son todas ceros se conoce como la matriz cero y se denota
por 0nxm o solo por 0. Tenga cuidado que no confunda la matriz cero con el número cero.
Ejemplo:
La matriz cero 2x3 es;
0 0 0
02x3 =
0 0 0
2. Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es aquellaque tiene el mismo número de filas que de columnas.
Ejemplo:
3 −1 −3
B = 3 2 −2
4 0 5
Matriz cuadrada 3x3
Matrices especiales:
4 −1
A=
3 6
Matriz cuadrada 2x2
3. Matriz diagonal
Una matriz cuadrada nxn cuyas entradas son todas ceros excepto las entradas de la
diagonal se llama matriz diagonal.
Ejemplo:
Una matriz diagonal 2x2 es;
Unamatriz diagonal 3x3 es;
4 0
A=
0 6
3 0 0
B = 0 −2 0
0 0 5
Matrices especiales:
5. Matriz identidad
Una matriz cuadrada cuyas entradas son todas cero excepto las de la diagonal
principal que tiene entradas iguales a 1, se llama matriz identidad.
Existe una matriz identidad para cada tamaño de matriz cuadrada nxn.
Ejemplos:
La matriz identidad 2x2 es;1 0
La matriz identidad 3x3 es;
La matriz identidad 4x4 es;
I =
0
1
I = 0
0
0 0
1 0
0 1
1
0
I =
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
Operaciones con matrices:
1. Suma de matrices
Si A = aij y B = bij son dos matrices mxn entonces
definimos la suma de A y B por,
A + B = aij + bij...
Breve repaso Algebra Lineal
Justificación
Las matrices son una herramienta importante en las
representación de ideas matemáticas. Sus aplicaciones
alcanzan todas las ramas de matemáticas y ciencias.
El conceptos de matriz es tan importante que existe toda
una rama de las matemáticas que trata exclusivamente
el estudio de las matrices, esta se conoce como el álgebralineal. Veremos en este breve repaso los conceptos generales
de matrices y las aplicaciones a la solución de sistemas
de ecuaciones lineales.
Álgebra de Matrices
Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números que forman la matriz se
llaman entradas o elementos y se escriben dentro de paréntesis.
Las matrices se identifican con letras mayúsculas.
Ejemplosde matrices:
2 3
A=
4 5
3 −1 −3
B = 3 2 −2
4 0 5
3 2 0
C=
4 1 −3
Las líneas horizontales de números se conoce como filas y
las verticales como columnas.
3 2 0
C=
4 1 −3
columna
fila
Al número de filas por el número de columnas de una matriz
se le llama el orden o tamaño de la matriz.
2 3
A=
4 5
3 −1 −3
B = 3 2 −2
4 0 5
3 2 0
C=
4 1 −3
Matriz 2x2
Matriz 3x3
Matriz 2x3
Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas.
Definición de matriz mxn:
Un arreglo rectangular de números que tiene m filas y n
columnas se conoce como una matriz m x n.
a11
a
21
a31
A=
:
am1
a12
a22
a13a23
....
...
a32
a33
...
:
...
am 3
...
:
:
am 2
a1n
a2 n
:
:
amn
Los elementos de la matriz se expresan de la forma aij donde i
corresponde a la posición de la fila y j corresponde a la posición
de la columna. Una matriz mxn se suele escribir en la forma
general abreviada,
A = aij
mxn
o A = aij
Definición :
Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los
mismos elementos.
Ejemplo:
x y 1 1 3 1
Si
= 4 −1 v entonces x = 1; y = 3;
z −1 5
z = 4; v = 5
Definición :
La transpuesta de una matriz mxn, A es la matriz nxm cuya
fila i es la columna j de A. La transpuesta de A se denota
por AT
Ejemplo:
0 4
0 3 1
Si A=
entonces AT = 3 −1
4 −1 4
1 4
Matrices especiales:
Matrices especiales:
1. La matriz cero
Una matriz mxn cuyas entradas son todas ceros se conoce como la matriz cero y se denota
por 0nxm o solo por 0. Tenga cuidado que no confunda la matriz cero con el número cero.
Ejemplo:
La matriz cero 2x3 es;
0 0 0
02x3 =
0 0 0
2. Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es aquellaque tiene el mismo número de filas que de columnas.
Ejemplo:
3 −1 −3
B = 3 2 −2
4 0 5
Matriz cuadrada 3x3
Matrices especiales:
4 −1
A=
3 6
Matriz cuadrada 2x2
3. Matriz diagonal
Una matriz cuadrada nxn cuyas entradas son todas ceros excepto las entradas de la
diagonal se llama matriz diagonal.
Ejemplo:
Una matriz diagonal 2x2 es;
Unamatriz diagonal 3x3 es;
4 0
A=
0 6
3 0 0
B = 0 −2 0
0 0 5
Matrices especiales:
5. Matriz identidad
Una matriz cuadrada cuyas entradas son todas cero excepto las de la diagonal
principal que tiene entradas iguales a 1, se llama matriz identidad.
Existe una matriz identidad para cada tamaño de matriz cuadrada nxn.
Ejemplos:
La matriz identidad 2x2 es;1 0
La matriz identidad 3x3 es;
La matriz identidad 4x4 es;
I =
0
1
I = 0
0
0 0
1 0
0 1
1
0
I =
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
Operaciones con matrices:
1. Suma de matrices
Si A = aij y B = bij son dos matrices mxn entonces
definimos la suma de A y B por,
A + B = aij + bij...
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