Algebra lineal

1. SISTEMA DE NUMERACION.

1.1 Introducción a los números reales.

El sistema de los números reales es una creación de la mente humana. El sistema numérico se ha desarrollado a lo largo de un periodo de miles de años a través de los cuales fueron apareciendo, de manera irregular, nuevas invenciones que respondían a la necesidad creciente de hacer más amplia la utilidad del sistema.
Estodio como resultado a el conjunto de los números racionales, son todos aquellos que se expresen como el cociente de dos números enteros, siendo los enteros, los que permiten expresar el cociente de una división exacta, es decir, una división en la cual el dividendo es múltiplo del divisor; los fraccionarios expresan lo contrario, el cociente de una división inexacta.
El conjunto de los númerosirracionales son todos aquellos que no pueden ser expresados por números enteros o fraccionarios, también son conocidos como inconmensurables; el conjunto de números naturales, los enteros negativos, y el cero son otros de los entes numéricos que de acuerdo a las necesidades identificadas por los matemáticos fueron surgiendo a lo largo de la historia.
A continuación se presentan ejemplos deelementos pertenecientes a conjuntos de números.

1, 2, 3 Números naturales o enteros positivos
0 Cero
-17,-8,-4 Números enteros negativos
-17,-8,-4, 0, 1, 2, 3 Números enteros
{-85,-12, 78, 196} Números fraccionarios o racionales no enteros
-17,-8,-4,-85,-12, 0, 78, 1, 2, 196, 3 Números racionales
{-311,2, π, 17} Números irracionales

Todos los conjuntosde números anteriores forman parte del conjunto de los números reales.
-17,-8,-4,-311,-85,-12, 0,78,1, 2, 2, π, 3, 196,

1.2 Números complejos.

DEFINICION.
Un número complejo es de la forma , siendo a y b números reales, e .
En el número complejo , a recibe el nombre de parte real y bi de parte imaginaria. Si a = 0, el número complejo se llama imaginario puro. Si b = 0, elnúmero complejo se reduce al número real a. Por consiguiente, en los números complejos están incluidos todos los números reales y todos los imaginarios puros.

La unidad de los números imaginarios es y se representa, en general, por la letra i. Muchas de las propiedades de los números reales son válidas también en los números imaginarios.

Por ejemplo, i;

También como , tenemos
i1 = i
i2= -1,
i3 = i2 * i = (-1)i = -i,
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1,
i5 = i4 .i = 1 . i = i , y análogamente para cualquier potencia entera de i.
Nota. Se debe tener sumo cuidado al aplicar algunas de las propiedades de los números reales. Por ejemplo, se puede pensar que
, lo cual es incorrecto
Para salvar tales dificultades, expresaremos siempre , siendo m un número positivo, por ; siendo i2 =-1. Así, pues,
, que es lo correcto
La condición necesaria y suficiente para que los números complejos y sean iguales es que y . Así, pues, si y solo si, y . Si , se tendrá , .

EL CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO es , y recíprocamente; denotado por a+bi.
Por ejemplo, y son conjugados.

OPERACIONES ALGEBRAICAS CON NUMEROS COMPLEJOS

1) Para sumar dos números complejos se suman,por una parte, las partes reales y, por otra, las imaginarias. Por ejemplo,

2) Para restar dos números complejos se restan, por una parte, las partes reales y, por otra, las imaginarias. Por ejemplo,

3) Para multiplicar dos números complejos se efectúa la operación como si se tratase de dos binomios sustituyendo i2 por -1. Por ejemplo,

4) Para dividir dos números complejosse multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y se sustituye i2 por -1. Por ejemplo

1.3 Representación rectangular.

Con objeto de asociar un número complejo z=x+yi (esto es igual a ) con un punto, se usa un par de ejes coordenados rectangulares. Entonces el punto que representa x+yi es el punto cuyas coordenadas son (x,y).
Cuando se usan para...