algebra lineal

Cap´ıtulo 1

Visita r´
apida a las

C

Matem´
aticas.

I
I

I

ge

El c´alculo vectorial alcanzo su pleno desarrollo gracias a Jovial Gibbs,

on
M
.
A

que en su libro Elements of Vector Analysis (1863) introdujo la notaci´on
vectorial m´as com´
un en la actualidad. La gran claridad en la exposici´on de
conceptos f´ısicos que permite dicho formalismo quedo plasmada porJames

© M.

Clerk Maxwell en su obra maestra Treatise on Electricity and Magnetismo
(1873), donde sent´o las bases del electromagnetismo cl´asico.

Este cap´ıtulo presenta una introducci´on al c´alculo vectorial, integrales
de l´ınea y superficie, y sistemas de coordenadas. Tras definir el concepto
de vector, se explican las operaciones algebraicas b´asicas. A continuaci´
on seestudian los operadores vectoriales gradiente, divergencia y rotacional. Por
u
´ltimo, se desarrollan los teoremas de Green y Stokes.

0

1.1 ¿Qu´e es un vector?.

1.1.

1

¿Qu´
e es un vector?.

Si deseamos tener toda la informaci´on
posible del viento (figura.(1.1)), no solo necesitaremos conocer su intensidad, 60 km/h
, adem´as es necesario saber su direcci´on y
sentido. No es lomismo para un velero que
quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h
hacia el mar que hacia la costa.
Existen muchas magnitudes f´ısicas cuya

V
60 km/h

C

descripci´on completa exige conocer su intensidad y direcci´on. Una forma de describir un viento a 60 km/h de forma sencilla es

ge

on
M
.
A

porcional a su velocidad y que apunte en la
direcci´on del viento. A estas flechasse las
denomina vectores, y a las magnitudes que

© M.

miden vectoriales.

I
I

I

mediante una flecha cuya longitud sea pro-

Figura 1.1: Para conocer la velocidad del viento,v, no es suficiente con medir su intensidad o

m´odulo, V = 60 km/h, adem´as

es necesario conocer su direcci´on.

Existen muchas magnitudes f´ısicas que se encuentran completamente

determinadas conel valor de su intensidad, por ejemplo la temperatura,
T = 25o C. Estas magnitudes se las denominan escalares.

Esta forma gr´afica de representar un vector, si bien es muy u
´til para
visualizar la situaci´on f´ısica, dificulta la realizaci´on de c´alculos algebraicos.
La forma abreviada de representar un vector es mediante tres n´
umeros,
denominados componentes del vector, que indicancu´al es la longitud entre
el comienzo y el final del vector en las tres direcciones del espacio.
Lo primero que debemos hacer es elegir cu´al es la derecha e izquierda,
cu´al es el arriba y el abajo, y d´onde est´a adelante y atr´as. Adem´as, debemos
poder medir la longitud de los vectores. Esto es lo que se denomina elegir
un sistema de coordenadas, el m´as simple de los cuales es elcartesiano.
La figura.(1.2) muestra la m´as com´
un de todas las representaciones de un
sistema de coordenadas cartesiano. Se elige la derecha, u orientaci´
on positiva,
como aquella en la que el eje Z tiene el sentido del dedo pulgar de la mano
derecha al cerrar el resto de los dedos desde el eje X positivo al eje Y positivo
c

M. A. Monge

Dpto. F´ısica 2001-2002

Electromagnetismo

2Visita r´apida a las Matem´aticas.
(ver figura.(1.2)).
Una vez elegido nuestro sistema de coordenadas, solo hay que medir cu´al
es la longitud de nuestro vector en cada una de las direcciones para obtener
las componentes del vector.
Hay tres formas tradicionales de representar un vector. La primera consiste en

Z

escribir las componentes del vector entre

V(x,y,z)

par´entesisseparadas por comas, siendo la
si

primera la componente del vector en la di-

n
v

recci´on X, la segunda en la Y y la tercera

C
Y

en la Z.

V = (vx , vy , vz )

X

(1.1)

I
I

I

ge

La segunda consiste en escribir las com-

ponentes como una suma, multiplicando la

on
M
.
A

Figura 1.2: Representaci´on del

vector velocidad V = (2, 2, 3)
km/h, en un...