Algebra

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Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un conjunto que incluye dos operaciones: suma entre elementos de V y producto de elementos de K por elementos de V y cuyo resultado es otro elemento de V. A los elementos de V los denominamos vectores y los elementos de K, escalares.

Ejemplo:
Tomar V como el conjunto de los polinomios, y K el de los números reales. Así, tendríamos la sumade polinomios, elementos de V; y el producto de un número real por un polinomio, cuyo resultado es otro polinomio.
Sin embargo es necesario que se cumplan una serie de propiedades para ambas operaciones.
1. Para la suma de elementos de V, y dados u, v, w elementos de V :
2. la operación es interna, es decir, u+v pertenece a V
3. la suma es asociativa, así, u+(v+w)=(u+v)+w
4. existe elementoneutro para la operación suma, es decir, un elemento 0 de V tal que u+0=0+u=u
5. existe elemento opuesto, esto es, para todo u, existe otro elemento -u tal que u+(-u)=0
6. la operación es conmutativa, y así u+v=v+u
En realidad esta operación dota a V de estructura de grupo abeliano.

2. Elemento de un espacio vectorial:
Los elementos de un espacio vectorial se llamanvectores. El concepto de vector en un espacio vectorial es completamente abstracto como los conceptos de Grupo, Anillo, y Campo Escalar. Para determinar si un conjunto V es un espacio vectorial se debe especificar el conjunto V, el campo escalar K y definir la suma vectorial y el producto escalar en V. Entonces si V satisface las 10 propiedades anteriores, es un espacio vectorial sobre el cuerpo K
3.Operaciones de un espacio vectorial:
En los 5 primero axiomas las operaciones en la suma de 2 vectores, y en los 5 restantes la operación es la multiplicación de un escalar (k o l) por un vector.

En 2 operaciones pueden ser:
a) Normales o Comunes: tal que como se ha estudiado la suma de 2 polinomios o la suma de 2 vectores o matrices. De igual manera el producto de un escalar
b) por unvector (matriz, polinomio, etc.), se puede decir, tiene un resultado esperado (lógico).
c) Por ejemplo, si se suman los vectores A = (2,3) y B = (4,1) el resultado de A + B = (2+4, 3+1) = (6,4) Si se efectúa 3 A el resultado es 3 A = (6,9)

d) Especiales: se deben cumplir ciertas reglas, según las que especifiquen las operaciones.
Por ejemplo, si se desean sumar vectores A = (2,3) y B= (4,1) con una operación especial (x,y) + (x,y) = (x+x1 +1 y y1 +y+2), lo que significa que la operación se debe realizar sumando las 2 primeras componentes y al resultado sumarle 1, y luego sumar las segundas componentes y sumar al resultado 2, así
A x B = (2+4+1 , 3+1+2) = (7,6)
Componentes muy diferentes a las obtenidas con la suma normal o comúndel ejemplo anterior.
Igualmente si se pide K (u) = (kx,y), la operación señala claramente que la primera componente del vector se obtiene multiplicando el escalar por la componente, y la segunda se obtiene elevando la componente al escalar.
Por ejemplo si K = 2 y A = (3,4) el vector resultante es:
2(3,4)= (2(3), 4 ) = (6,16)
5. Sub-espacios vectoriales:
Un subconjunto W de un k-espacio vectorial V, se llama subes pació vectorial de V, si W es un k-espacio vectorial bajo las operaciones + y de V.

Ejemplo:
Dado un k-espacio V, los subconjuntos y V claramente son subes Pacios. Se les conoce como los subes Pacios trivialesde de .

2. Independencia lineal y combinaciones lineales:
Sean v1, v2, v3, …, vn vectores en el espacio vectorial V. Los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, c3, …, cn no todos ceros, tal que: c1v1 + c2v2 + c3v3 + …+ cnvn = 0. Si los vectores no son linealmente dependientes son linealmente...
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