Analisis Matematico

Anàlisi
Anàlisi Matemàtica
UT6 - Sèries Numèriques
Sèries Numèriques

Contingut
Contingut
Conceptes generals
generals



Sumes parcials. Convergència i divergència
La sèrie harmònica. Generalització

Sèries numèriques de suma exacta



Geomètriques i aritmètico-geomètriques (Sumes finites i iinfinites)
finites nfinites)
Telescòpiques i reductibles a telescòpiquesCriteris de Convergència
de Convergència



Condició del residu
Criteri de Leibniz per a sèries alternades

Obtenció d’algunes sumes aproximades

Objectius
Objectius
•
•
•
•

Identificar la successió de sumes parcials associada a una sèrie
Calcular sumes parcials de sèries geomètriques i aritmèticogeomètriques
Sumar exactament una sèrie geomètrica, aritmètico-geomètrica
otelescòpica
Aproximar la suma d’una sèrie alternada

Distribució
1T/S: Conceptes generals
2T/S: Sèries geomètriques
Sèries
3T/S: Sèries aritmètico-geomètriques
4T/S: Sumes aproximades

Conceptes
Conceptes generals
Problema: Donada la successió an n1
a1  a2  a3    a100  a101    ?

(suma de tots els seus termes)

La solució no és evident: s  1  (1)  1  ( 1)  1  (1)   ?
s  1  ( 1)   1  ( 1)   1  ( 1)     0  0  0    0
s  1   ( 1)  1   ( 1)  1   ( 1)  1    1  0  0    1
s  1  ( 1)  1  (1)  1  (1)  1     s  s 

1
2

Associativitat, commutabilitat, etc... no són (en general) vàlides
 Quan podem sumar?
 Com sumem quan és possible?

1 2  3   ?
111
    ?
248

Sumes parcials.Convergència i divergència:

A partir de la successió an n1 definim la de sumes parcials
s1  a1

s2  a1  a2
s3  a1  a2  a3
s4  a1  a2  a3  a4

 sn1  sn  an1
Recurrentment, 
 s1  a1


sn  a1  a2  a3  a4    an , n  

Definim la sèrie numèrica de terme general an per


 an   an  lim sn   an (notació simplificada)

n1

n1

La serieconvergeix/divergeix quan ho fa la successió sn 
La sèrie suma s  lim sn (quan existeix s i és real)
li
Casos de divergència interessants:

 an  , segons siga sn  

n1



Exemple:  (1) n1  1  (1)  1  (1)  1  (1)  
n 1

sn   1,0,1,0,1,0,1,0,...

(divergent)



La sèrie
sèrie

( 1) n1 és divergent (oscil.lant, no parlem de suma)
és divergent(oscil
parlem de suma)


n 1



Exemple:  (2n  1)  1  3  5  7  9  11  
n1

sn   1, 4,9,16, 25,36,...  n2 


La sèrie

 (2n  1)

(divergent a +)
(d

divergeix a + (podem dir que suma + )

n 1



Exemple:  0  0  0  0  0  
n1

sn   0,0,0,0,0,...  0

(convergeix a 0)



La sèrie

0

n 1

convergeix i laseua suma és 0

 n 1 
2
3
4
5
Exemple:  log 
  log    log    log    log    
n
1
2
3
4
n1
2
2
3
2 3
s1  log    log(2) , s2  log    log    log 
  log(3) , ...
1
1
2
1 2




2
3
4
 n 1 
 2 3 4 n 1 
 log 

sn  log    log    log      log 

  log(n  1)
n
1
23
n
1 2 3

 n 1 
log 
divergeix
  n  divergeix a +

n1

1  1 1   1 1   1 1 
1
Exemple:   
             
n1  n n  1   1 2   2 3   3 4 

sn   1 



La sèrie

1 n

 1
n  1  n  1

1
1

  n n  1  convergeix i la seua suma és 1

n1 

Propietats:

 an



n p



té el mateixcaràcter que
(Tenen suma distinta, si p  q )

 (an  bn )   an   bn

;

 an

, p,q  

n q

   an       an 

,  

 En sèries convergents podem agrupar termes (no reordenar)


 an

convergent 

 an convergent

Exemple (Sèrie harmónica) :

1
1111
 1    
n
2345
n 1

1
1
Ara sn  a1  a2    an  1    
2
n

1
...