Angulos

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GEOMETRIA PREUNIVERSITARIA

TRIÁNGULOS : PUNTOS NOTABLES
01. BARICENTRO Todo triángulo tiene tres medianas las cuales concurren en un punto denominado “Baricentro” 03. INCENTRO Es el punto donde concurren las bisectrices de los ángulos del triángulo.

En la figura “G” es el baricentro del triángulo ABC, se cumple : AG = 2GM BG = 2GN CG = 2GL 02. ORTOCENTRO Es elpunto donde concurren las tres alturas del triángulo o sus prolongaciones. El ortocentro está ubicado en el interior en un triángulo acutángulo, en el exterior en un triángulo obtusángulo y en el vértice del ángulo recto en un triángulo rectángulo. B

I : Incentro del triángulo ABC

04. EXCENTRO El excentro de un triángulo es el punto donde concurren la bisectriz de un ángulo interno y lasbisectrices de los ángulos externos en los otros dos vértices

P Q H A H B L C

P L A Q H H El ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.

C

E : Excentro del triángulo ABC relativo al lado En todo triángulo se puede determinar tres excentros, uno relativo a cada lado.

05. CIRCUNCENTRO En todo triángulo las mediatrices referentes a cada uno de sus ladosconcurren en un punto denominado “Circuncentro”. El circuncentro está ubicado en el interior en un triángulo acutángulo, en el exterior en un triángulo obtusángulo y en el punto medio de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

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x=

03. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores

El circuncentro de un triángulo rectángulocoincide con el punto medio de la hipotenusa.

x = 90 -

04. Ángulo formado por una altura y la bisectriz interior trazadas desde el mismo vértice

O : Circuncentro PROPIEDADES 01. Ángulo formado por dos bisectrices interiores x=

05. En la figura, se cumple :

x = 90 +

x= 02. Ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior

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06.En la figura, se cumple :

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07. En la figura, se cumple:

x = 180 - θ

x=

PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Del gráfico, calcular “x + y” 04. En la figura, calcular α, si AB = AD = DC B 8α°

A) 50 D) 100

B) 60 E) 120

C) 80

A 1 α° A) 10 D) 25

D B) 20 E) 15

2α° C C) 30

05. Calcular “x”, si AB = 3, BC = CD = 4 y AD = 7 02. Calcular “x”, si CM = CN : B α°1 α° β° A 2 β° x B) 40 E) 70 N C A) 100 D) 135 B) 110 E) 140 C) 120 M

A) 35 D) 55

C) 50

03. En la figura, AB = BC, PQ = QR = PS. Calcular “x” : B

06. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB + BC = 30 y AC = 20; en se ubica un punto “P”. Calcular el menor valor entero de “BP” A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 07. En la figura m BAC = m ACB + 20. Calcular “x” :

Q P R x A A) 45 D) 40 S B) 60 E)75 C C) 30 A) 30 D) 60 -9A x α°

B 3α°

C E B) 40 E) 70

C) 50

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08. Calcular la medida del ángulo que determinan las rectas p y q

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13. En la figura BC = CD. Calcular “x” :

A) 10 D) 30 A) 30 D) 60 B) 40 E) 70 C) 50

B) 20 E) 22,5

C) 15

14. En la figura, calcular “x”

09. En un triángulo ABC, AB = 3 ; BC = 3 y m ABC > 90,calcular el mínimo valor entero de AC A) 4 D) 7 B) 5 E) 8 C) 6

θ°

2θ°

10. Calcular “x” si a + b = 6 A) 40 D) 30 x a

β° β°

x

8

α° α°

3 0

α°

B) 25 E) 80

C) 50

6 A) 1 D) 6 B) 4 E) 3

b

α° C) 5

15. Dado un triángulo ABC, recto en B. Sea “I” el incentro y “E” el excentro relativo a , tal que AC = IE. Calcular la m A A) 30 B) 45 C) 37 D) 60 E) 53 16. En lafigura “I” es incentro del triángulo ABC

11. En la figura. ¿Qué punto notable es “K” del ΔABC, si los triángulo AKD y BKE son equiláteros? B E k

Q x

B

4 I

H A

θ° θ°

α° α° P

C

A

D

C

A) Incentro B) Circuncentro C) Baricentro D) Ortocentro E) Excentro 12. Del gráfico mostrado, calcular “θ” B 4θ° θ° n n A A) 15 D) 18 B) 16 E) 22 2θ°

Calcular “x” A) 20 D) 30 B)60...