Aplicacion de problemas

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Introducción
No existe una metodóloga muy concreta acerca de como se debe modelar matemáticamente un problema y el asunto tiene mucho de intuición y arte. En la siguiente clase intentaremos dar una introducción al moldeamiento de problemas de optimización, mostrando un par de problemas típicos y discutiendo un poco las dificultades que pueden presentarse y cuales son los errores mas comunes.Una forma sencilla y bastante general de ordenar el proceso de modelación, consiste en dividirlo en tres partes:
1. Definición de variables de decisión.
2. Planteamiento de las restricciones del problema.
3. Planteamiento de la función objetivo.

Definición de variables.

Como primer paso para poder modelar ordenadamente un problema de optimización debemos distinguir que variablesson aquellas sobre las que podemos tomar decisiones en el problema y darles un nombre, es decir, debemos darnos cuenta que variables están bajo nuestro control. A veces es necesario incluir variables que si bien no podemos ejercer una decisión directa sobre ellas, nos sirven como herramienta auxiliar ya sea para plantear restricciones o para escribir nuestra función objetivo. Serian variables dedecisión por ejemplo la cantidad de producto a enviar desde el centro de producción i hasta el centro de consumo j (que podríamos llamar xij), la cantidad de insumos a adquirir en el periodo t (que podríamos llamar yt), el numero de horas que destinaremos la maquina i a trabajar en el proceso j en el periodo t (que podríamos llamar zt ij), etc.

Planteamiento de restricciones.

En un problema deoptimización, intentaremos buscar combinaciones de variables de decisión que generen un mejor valor de la función objetivo, pero en la práctica nuestro problema esta limitado por un gran número de restricciones físicas, económicas, técnicas, etc. Es por esto que en el planteamiento de nuestro problema debemos especificar que limitantes tienen los valores que puedan tomar las variables de decisión.En síntesis, en esta parte debemos escribir matemáticamente las limitaciones que nos impone la naturaleza del problema.

Planteamiento de función objetivo.

En general podemos decir que en un problema de optimización se intenta encontrar el mejor valor de algo. Es por esto que necesitamos especificar que criterio usaremos para decir que una solución es mejor que otra. Para ello deberemosespecificar una función de IRn a IR en que una combinación de variables será mejor que otra si genera un mayor valor de la función en el caso de maximización y un menor valor de la función en el caso de minimización. Ejemplos típicos de funciones objetivos vienen dados por maximización de utilidades y minimización de costos, los que deben ser escritos en función de las variables del problema.

Enesta parte del curso, veremos un muy importante caso particular de problemas: problemas de programación lineal (PPL) en que tanto las restricciones como la función objetivo son lineales. En esta clase introductoria veremos un subconjunto aun más reducido: solo consideraremos variables continuas (mas adelante incluiremos variables discretas y binarias).
Problemas
Partiremos con un par de problemasbien sencillos para que se entienda la idea y soltar un poco la mano.

Problema 1
La oficina técnica coordinadora de cultivos (OTCC), tiene a su cargo la administración de 3 parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela esta limitado tanto por la cantidad de tierra cultivable como por la cantidad de agua asignada para regadío de la parcela por la comisión de aguas. Los datos proporcionadospor este organismo son los siguientes:

Parcela | Parcela Tierra Cultivable [ha] | Asignación de agua [m3] |
1 | 400 | 600 |
2 | 600 | 800 |
3 | 300 | 375 |

Las especies disponibles para el cultivo son la remolacha, trigo y maravilla, pero el ministerio de agricultura ha establecido un número máximo de hectáreas que pueden dedicarse a cada uno de estos cultivos en las 3 parcelas en...
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