Aplicaciones lineales

APLICACIONES LINEALES
DEFINICION
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y paratodo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1.
2. donde k es un escalar.
NUCLEO E IMAGEN
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es unsubespacio del dominio:
1. dado que
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.

O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineales la dimensión de la imagen.


PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:
1.
2.
3.
4.

CARACTERIZACION DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
F es lineal f(t x + s y)= t f(x)+ s f(y) para todo x, y perteneciente a V y para todo t y s pertenecientes a K. (trivial)

Teorema 1: Sea f unaaplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W. Se tiene:
1) f(0V)= 0W.
2) f(-x)=-f(x).
3) Si x1, x2,..., xp son vectores de V y t1, t2,....,tp pertenecen a K f(t1x1 +t2x2+....+tpxp)=t1f(x1)+t2f(x2)+…..+tpf(xp).
4) Si el conjunto es linealmente dependiente (l.d. )entonces es l.d.
Corolario: Si es un conjunto de vectores de V y es linealmente independiente (l.i ) entonces esl.i. El recíproco no es cierto.

Teorema 2.: Sean f y g dos aplicaciones lineales definidas entre los espacios vectoriales V y W. Sea una base de V. Si f(ui)=g(ui) i=1, ...., n entonces f= g
Observación 1. Este teorema nos indica que la aplicación lineal está determinada por las imágenes de una base.
Teorema 3: Sean una base de V y un conjunto arbitrario de W. Entonces existe unaúnica aplicación lineal
f: V-----à W tal que f(ui)=vi, i=1,...,n
Observación 2. Este teorema nos dice que para definir una aplicación lineal basta definir las imágenes de los vectores de una base del espacio vectorial V.

TRANSFORMACIONES LINEALES SINGULAR Y NO SINGULAR
Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una transformación lineal de en . Entonces, es no singular si:
XEn caso contrario es singular.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal dedos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.
Hay que puntualizar que a veces (particularmente en geometría), en un ejercicio, se pide resolver un sistema de ecuaciones que tiene menos ecuaciones queincógnitas, o cuyo determinante es nulo. En estos casos habrá incógnitas para los que no podamos encontrar ningún valor concreto (es decir, que no podremos decir "cuánto valen"). En estos casos, lo que hay que hacer es despejar esas incógnitas como si supiéramos sus valores, y considerarlas como parámetros. La solución es entonces no ya un punto, sino una recta, un plano, o en general una...