Aplicaciones Lineales

APLICACIONES LINEALES
(Homomorfismo o Transformaciones Lineales)
Definición:
Sean V y U dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K.
F: V →U
Si satisface las dos condiciones siguientes:
* Ѵ v , w є V , F( v + w) = F(v) + F(w)
* Ѵ k , є K y todo v є V , F( kv) =kF(v)

Ejemplo 1:
La aplicación f: R3 → R2 definida por
F(x, y, z) = (x + y, y - z)
¿F es una aplicación lineal?
Propiedad básica de laaplicación lineal
F (k1v1 + k2v2 +……………………..+ knvn) = k1 F (v1) + k2 F (v2) +……………………..+ kn F ( vn)
Ejemplo 2:
La función f: R3 → R2 definidapor:
F(x, y, z) = (x- z, y-z +1)
¿F es una aplicación lineal?
Núcleo de una aplicación lineal
Núcleo de una aplicación lineal f, entre dosespacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, es el conjunto de los vectores del dominio cuyas imágenes por f son el vector nulo del codominio.

Elsímbolo de N (f) se lee núcleo de f. por definición es:
N (f) = {x є V / f (x) = Ow}

f (a, b) =
Ejemplo 1:
Sea f: R2 → R2 x 2 definida por:Determinar el núcleo.

Imagen de una aplicación lineal
Imagen de una aplicación lineal f: V → W es el conjunto de imagen del dominio, o sea, esla totalidad dela imágenes de los vectores del primer espacio.
El símbolo I (f) se lee: imagen de f
I (f) = {y є w / з x є v ^ f (x) = y}
I (f)= {f (x) / x є V}

I (f) ≠ Ø
Además de acuerdo a la definición, es
I (f) C W

Ejemplo 1:
Sea f: R2 → R2 x 2 definida por:
f (a, b) =