Apuntes cálculo en una variable

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Apuntes de c´lculo en una variable real a

´ Eduardo Liz Marzan

Vigo, Diciembre de 2006

´ Indice General
1 Preliminares 1.1 Introducci´n. . . . . . . . . . . . . o 1.2 La relaci´n de orden en el conjunto o 1.3 El valor absoluto. . . . . . . . . . . 1.4 Funciones reales de variable real. . 1 1 1 2 3 5 5 5 7 8 9 9 11 11 11 13 14 14 16 17 20 25 25 25 27 29 30 35 35 35

. . . . . . . . .. . . . de los n´meros reales. u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 L´ ımites y continuidad 2.1 Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2 L´ ımite de una funci´n en un punto. . . . . . o 2.3 Continuidad. . . . . . . . . .. . . . . . . . 2.4 L´ ımites en infinito. . . . . . . . . . . . . . . 2.5 C´lculo de l´ a ımites. . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Algunos teoremas para funciones continuas. 3 C´lculo diferencial a 3.1 Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . o 3.2 Derivada de una funci´n en un punto. o 3.3 Funci´n derivada. Derivadas sucesivas. o 3.4 Propiedades de las derivadas. . . . . . 3.5 La regla deL’Hˆpital. . . . . . . . . . o 3.6 Extremos relativos de una funci´n. . . o 3.7 El teorema del valor medio. . . . . . . 3.8 El teorema de Taylor. . . . . . . . . . 4 C´lculo integral a 4.1 Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . o 4.2 Primitiva de una funci´n. . . . . . . o 4.3 La integral definida. . . . . . . . . . 4.4 El teorema fundamental del c´lculo. a 4.5 Integrales impropias. . . . . . . . . .

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5 Sucesiones 5.1 Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o 5.2 Sucesiones convergentes y divergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5.3 5.4 5.5

C´lculo de l´ a ımites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L´ ımites superior e inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sucesiones recursivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 3738 41 41 41 43 45 46 51

6 Series 6.1 Introducci´n. . . . . . . . . o 6.2 Series de n´meros reales. . . u 6.3 Series de t´rminos positivos. e 6.4 Convergencia absoluta. . . . 6.5 Series de potencias. . . . . . Referencias

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criterios de convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introducci´n o
En algunos planes de estudio de las ingenier´ queda todav´ una primera asignatura de C´lculo ıas ıa a dedicada al c´lculo en una variable real. A m´ particularmente me parece muy util empezar a a ı ´...
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