Calculo aplicacio

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Ecuaciones Diferenciales

Soluci´n Gu´ I o ıa
1. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales en: lineal vs. nolineal homog´nea vs. no homog´nea e e a) df − 2f = 0 dx Respuesta: lineal y homog´nea. e b) df + f = ex dx Respuesta: lineal e inhomog´nea. e c) f2 Respuesta: no lineal e inhomog´nea.e d) d2 f − f = ex cos x dx2 Respuesta: lineal e inhomog´nea. e d2 f + f = cos x dx2

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2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de variable separable. No esnecesario que la soluci´n sea de forma expl´ o ıcita. a) df = ex , dx Soluci´n: o Se tiene: df = ex dx, luego:
f f0

f (0) = 1

(1)

ˆ df =

x x0

ˆ x ex dˆ,

(2)

porlo cual:
ˆ f (x) − f (x0 ) = ex x x0

.

(3)

o: f (x) − f (x0 ) = ex − ex0 . Aqu´ x0 = 0 y por la condici´n y(0) = 1 tenemos: ı o f (x) − 1 = ex − 1. Finalmente: f (x) =ex . Ello se revisa mediante la sustituci´n en la ecuaci´n diferencial original. o o b) x· Soluci´n: o Reordenamos: df dx =− . f x Integramos a ambos lados: ln |f | + C = − ln |x|.2 (8) (7) df = −f dx (6) (5) (4)

Tambi´n es posible decir: e 1 ˆ . ln |Cf | = ln x Luego: |f | = C1 , |x| C1 ≥ 0. (10) (9)

Rev´ ısese que una soluci´n general es: o f (x)= ´ Esta es una soluci´n expl´ o ıcita. c) (x2 + 1) df − f dx = 0 Soluci´n: o Primero: (x2 + 1) df = f dx. Luego dividimos por x2 + 1 y f : dx df = 2 . f x +1 Integramos: df = fEso es: ln |f | = arctan x + C. d) f· Soluci´n: o Multiplicamos a la izquierda y la derecha por dx: f df = (xex + 1) dx. Luego, integramos a ambos lados: f df = 3 (xex + 1) dx.(17) (16) df = xex + 1 dx (15) x2 dx . +1 (14) (13) (12) C2 , x C2 ∈ R. (11)

Resulta: f2 ˙ = (x − 1)ex +x + C. 2 Luego: ˆ f 2 (x) = 2(x − 1)ex + 2x + C. (19) (18)

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