Calculo de una variable

Cálculo en una variable
Límites
Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite.
Es preferible comenzar con una función f(x) = x2. Sabemos que f(2) = 4.Sin embargo seamos un poco más ingeniosos y creemos un "hueco" en x = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así
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Esta última función es igual a x2 entodas partes excepto por x=2 donde no existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como
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Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo secomporta una función cuando se hace más y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Ahora usando variables podemos decir que L es el límite de una función f(x) cuando a x se aproxima a c si f(x) ≈ L cuando x ≈ c.
Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebraicamente como sigue

Intuitivamente,el límite L es simplemente el número al que f(c) se hace más y más cercana cuando x se aproxima a c, pero f(c) no necesita estar definido.
Esta idea de hablar acerca de una función cuando se aproxima a algo fue un descubrimiento importante, porque permite hablar de cosas de las que antes no se hubiera podido. Por ejemplo, consideremos una función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muypequeña, más y más cercano a cero, cuanto más grande se haga x. Sin los límites es muy difícil hablar de este hecho, porque 1/x nunca llega realmente a ser cero. Pero el lenguaje de los límites existe precisamente para permitirnos hablar de acerca del comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de que nunca llegará allí. Así que podemos decir
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|Teoremas sobre límites
Unicidad del límite de una función
Si una función tiene límite es único.

H) Existe limx->af(x)=b
T) b es único
Demostración
La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / paratodo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.
Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple
* f(x) pertenece a Eb,ε
* f(x)pertenece a Ec,ε
Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.
Definición
Límites laterales
Límite de f(x) en el punto a por la derecha :
limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.
Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :
limx->a-f(x)=b<=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.
Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ).
x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).
A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero soncontinuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.
Ejemplo
f(x) = x2 si x <= 2
-2x + 1 si x > 2
|     | limx->2-f(x)=4
limx->2+f(x)=-3
No existe limx->2f(x) |
Teorema
Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.

H) limx->af(x)=b
T) limx->a+f(x) =...