Calculo Demidovich

LA INTEGRAL DEFINIDA.
APLICACIONES

UNIDAD 14

P ágina 378
Problema 1
Interpreta lo que significa el área bajo la curva en cada uno de los siguientes
casos:
VELOCIDAD

(km/h)
VELOCIDAD DE UN TREN

v = f (t)

100

• Gráfica 1:
Espacio recorrido entre el tiempo
6 horas y el tiempo t0.

50

TIEMPO

6

7

8

9

10

t0 11 (horas)

CAUDAL

(l/min)
CAUDAL DE UNGRIFO QUE
VIERTE AGUA SOBRE UNA BAÑERA

C = f (t)

20

• Gráfica 2:
Volumen de agua recogido en t0
minutos.

10

TIEMPO

5

10

15

t0 18 (min)

FUERZA

(N)

FUERZA EMPLEADA PARA
DESPLAZAR UN COCHE

20
F = f (e)
10

• Gráfica 3:
Trabajo realizado al desplazar el
coche e0 metros.

5

10

15

Unidad 14. La integral definida. Aplicaciones

e0

ESPACIO(m)

1

Problema 2
CAUDAL

(hm3/día)

AGUA CAÍDA EN UN PANTANO
(LLUVIA Y RÍOS) DESDE SU INAUGURACIÓN

Interpreta lo que significa el
área entre las dos curvas en la
siguiente gráfica. Distingue las
áreas en azul y en rojo.
• Las áreas azules representan la
diferencia de volumen entre las
pérdidas de agua y el agua caída.

TIEMPO
PÉRDIDAS DE AGUA POR
EVAPORACIÓN,FILTRACIONES, ETC.

(días)

• Las áreas rojas representan la diferencia de volumen entre el agua caída y las pérdidas de agua.
Problema 3
F

f

F (1) = 2 porque el área bajo f entre 0 y 1 es 2.
F (2) = 4 porque el área bajo f entre 0 y 2 es 4.
F (5) = 7 porque el área bajo f entre 0 y 5 es 7.
Comprueba las afirmaciones anteriores y observa que “cuanto mayor es f (a),
más rápidamente crece F(a)”.
La solución se encuentra en el mismo ejercicio.

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Problema 4
Dibuja aproximadamente la función “área bajo f ” para cada una de las siguientes funciones:
a)

F

f

Unidad 14. La integral definida. Aplicaciones

2

b)
F

f

c)

49
—
2
F
f

7

Página 383
1. Halla gráficamente las siguientes integrales:

∫(
6

a)

2

)

x
+ 1 dx
2

b)

∫4
–4

√ 16 – x 2 dx

a) Es un trapecio cuyas bases miden 2 y 4 y cuya altura mide 4.
Área =

2+4
· 4 = 12 u2
2

x
y=—+1
2

4
2
4

b) y = √ 16 – x 2

⇒ y 2 = 16 – x 2 ⇒ x 2 + y 2 = 4 2 (Circunferencia)
4

El recinto cuya área queremos calcular es
medio círculo de radio 4 u.

3
2

—
y = √16 – x 2

Área =

1

=
–4

–3

–2

–1

0

1

2

Unidad 14.La integral definida. Aplicaciones

3

4

1
1
· π · r2 =
· π · 42 =
2
2
16
· π = 8 · π = 25,1 u2
2
3

2. Halla gráficamente las siguientes integrales:
a)

a)

∫
∫

4
–4
4

( √ 16 – x 2 + 4) dx

( √ 16 – x 2

–4

+ 4) dx =

Llamamos I1 =

∫

4

–4

b)

∫

4

∫

4

(4 – √ 16 – x 2 ) dx

–4

√ 16 – x 2 dx +

–4

√ 16 – x 2 dx e I2 =

∫∫

4

4 dx

–4

4

4 dx.

–4

Resolvemos gráficamente ambas integrales para posteriormente sumar los resultados.
I1: y = √ 16 – x 2

⇒ y 2 = 16 – x 2

⇒ x 2 + y 2 = 4 2 (circunferencia)
4

El recinto cuya área queremos calcular
es medio círculo de radio 4 u.
Área =
=

3

1
1
· π · r2 =
· π · 42 =
2
2

2

—
y = √16 – x 2

1

16
· π = 8 · π = 25,1 u2
2–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

4

I2: Se trata de un rectángulo de dimensiones 8 u × 4 u. Por tanto, su área
es 32 u2.

y=4
3
2
1

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Finalmente, I1 + I2 = 25,1 + 32 = 57,1 u2.
b)

∫

4

(4 – √ 16 – x 2 ) dx = ∫

–4

4

4 dx –

–4

∫

4

–4

√ 16 – x 2 dx

Observamos que se trata de las mismasintegrales que en el apartado a), solo que
ahora es I2 – I1, dando como resultado 32 – 25,1 = 6,9 u2.

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∫
+ 4) dt = ∫

1. Sea la función: F (x) =
x

F (x) =

∫ log (t
0

2

x

log (t 2 + 4) dt. Calcula F' (x).

0
x

f (t ) dt, siendo f (t ) = log (t 2 + 4) continua.
0

Por el teorema fundamental del cálculo:
F' (x) = f (x) = log (x 2 + 4)
Unidad 14. La...