Calculo Diferenciablidad

UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CATEDRA: CALCULO III PROFESORA: MERCEDES BECERRA

Maracaibo, Junio 2011

FUNCIONES DIFERENCIABLES DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES = ( , ), las derivadas parciales de f respecto de x y y , son las funciones

Si

f x y f y definidas como:
f x ( x, y )  lím
h0

f ( x  h, y )  f ( x , y ) h f ( x , y h )  f ( x, y ) , siempre que el límite exista. h

f y ( x, y )  lím
h0

Esta definición significa que, dada z  f ( x, y ) , para calcular f x se debe considerar a y como constante y derivar respecto de x . Del mismo modo para hallar f y se considera constante a x y se deriva con respecto de y .

NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS PARCIALES

Si z  f ( x, y ) , sus primeras derivadasparciales f x y f y se denota por:

f x ( x, y )  f x  f1 

f  z  ( x, y )  z x   D1 f ( x, y )  D x x x x

f y ( x, y )  f y  f 2 

f  z  ( x, y )  z y   D2 f ( x, y )  D y y y y

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA Si el plano = = , = ( , ) es la curva intersección de la superficie ( , ) = lim
( → , ) ( ,

= ( , ) con
)

, resulta entonces que

,

representa lapendiente de la recta tangente a esta curva en el punto ( , recta tangente y la curva intersección están en el plano Si, el plano = = =
( →

,

( ,

)). La

. Ver figura 1 = ( , ) con
) , ) ( ,

= ( , ) es la curva intersección de la superficie ( , ) = lim

, resulta entonces que

, representa la )). La recta

pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto tangente y lacurva intersección están en el plano =

( ,

,

( ,

. Ver figura 2

Físicamente representa las tasas de cambio de z en las direcciones de x e y , es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j . z

z  f ( x, y 0 )

●P Recta tangente
y

x

y  y0
Figura 1
z

z  f ( x0 , y)
Recta tangente ●P
y

x
Figura 2

x  x0

Lo que concluye que los valores f x yf y en el punto P( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )) dan las pendientes de la superficie en las direcciones de x y y .

GRADIENTE DE f : f ( x, y ) Si
f es una función de dos variables x y y , entonces el gradiente de f es una

función vectorial función f ( x, y ) definida como
 f ( x, y )  f x  x, y , f y  x , y   f f i j x y

Observemos la figura 3, como en la sección anterior seaC1 y C2 las curvas que se obtienen al cruzar los planos verticales = y = con la superficie S. Entonces

el punto P está en C1 y C2. En ellas las dos rectas tangentes T1 y T2 que se intersecan en el punto P . Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto P se define como el plano que contiene a las dos rectas tangentes T1 y T2 .(figura 3).

z

P y

=

=

x

Figura 3ECUACIÓN DEL PLANO EN Un plano ( , , en queda completamente determinado si se conocen un punto = ( , , ). Un punto se encuentra sobre el es ortogonal al vector

) por el que pasa un vector normal a él, digamos si el vector diferencia = ( − , − , − − ) −

= ( , , ) pertenecerá al plano plano. Es decir, si y solo si = ( , , ). Así pues el plano aquellos puntos ( , , ) de tales que: ( −

quedadeterminado como el lugar geométrico de , − , − ) =0 , + ) y tiene a = 0, donde ) . (A,B,C) = 0, o sea,

tales que ( − )+ ( −

) + C( −

(1) = ( , , ) como = − −

La ecuación del plano en R3 que pasa por ( , vector normal se puede escribir como si + +

= 0 es homogéneo y pasa por el origen. Al dividir la ecuación (1) por C y dejar que a= y b= , podemos escribirla de

la forma − = ( − ) +( − ) (2) = en la ecuación (2)

Si la ecuación (2) representa el plano tangente en T1. Al hacer se obtiene − ( , = ( − ) ( ,

y se reconoce a ésta como la ecuación de una recta con pendiente a. pero se sabe que la pendiente de T1 es ( − ) ) . Por lo tanto tenemos que a = = ). − ). =

De manera semejante, al hacer

en la ecuación (2), obtenemos = ( ,

que debe representar a la recta...