Calculo estocastico
Páginas: 12 (2970 palabras)
Publicado: 30 de diciembre de 2010
Cálculo Elemental Estocástico con Aplicación a Finanzas
Lourdes de Abigaíl González Chávez Universidad de Guadalajara
Índice
1. Preliminares 1.1. Conceptos Básicos de la Teoría de la Probabilidad . . . . . . . . 1.1.1. Variable Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Vectores Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Independencia y Dependencia . . .. . . . . . . . . . . . . 1.2. Procesos Estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Proceso derivado de un movimiento Browniano . . . . . . 1.3.3. Simulación del camino muestral Browniano . . . . . . . . 1.4. Esperanza Condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Esperanza Condicional bajo una condición discreta . . . . 1.4.2. Acerca de los Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Esperanza condicional general. . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Reglas para calcular la Esperanza Condicional . . . . . . 1.4.5. La Propiedad de Proyección de la Esperanza Condicional 1.5. Martingalas . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. La integral estocástica 2.1. Las integrales Riemann y Riemann-Stieltjes . . . . . . . 2.1.1. La integral ordinaria Riemann . . . . . . . . . . 2.1.2. La Integral de Riemann-Stieltjes. . . . . . . . . . 2.2.La integral de itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. La integral estocástica itô para proceso simples. . 2.2.3. La integral general de itô . . . . . . . . . . . . . 2.3. El lema de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. La clásica regla de la cadena para derivar . . . . 2.3.2. Una Versión Simple dellema de itô . . . . . . . 2.3.3. Versiones extendidas del Lema de Itô . . . . . . . 2.4. La Integral de Stratonovich y Otras Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 3 4 5 7 7 8 10 13 13 14 15 16 17 18 18 19 20 20 20 21 22 22 24 26 27 27 28 29 30
3. Ecuaciones diferenciales estocásticas33 3.1. Ecuaciones diferenciales de tipo determinístico . . . . . . . . . . 33 3.2. Ecuaciones Diferenciales Estocásticas Itô . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. ¿Que és una ecuación diferencial estocástica? . . . . . . . 3.2.2. Resolviendo Ecuaciones diferenciales estocásticas de itô por el lema de itô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Resolviendo ecuaciones diferenciales de Itôutilizando cálculo de Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. La Ecuación General Diferencial Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 1 34 34 36 38 40
3.3.1. Ecuación Lineal con Ruido Aditivo . . . . . . . . 3.3.2. Ecuaciones homogéneas con ruido multiplicativo 3.3.3. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. La esperanza y covarianza de una solución . . . .3.4. Solución Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. La aproximación de Euler . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. La aproximación Milstein . . . . . . . . . . . . .
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40 41 42 43 43 44 46
4. Aplicaciones del cálculo estocástico en …nanzas 47 4.1. La fórmula de Black-Scholes para valuación deopciones. . . . . . 47 4.1.1. Conceptos importantes dentro de las …nanzas . . . . . . . 47 4.1.2. ¿Que es una opción? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.3. Formulación Matemática de un problema de valuación de opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.4. La Fórmula de Black y Scholes . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2. Una técnica útil: el cambio de...
Lourdes de Abigaíl González Chávez Universidad de Guadalajara
Índice
1. Preliminares 1.1. Conceptos Básicos de la Teoría de la Probabilidad . . . . . . . . 1.1.1. Variable Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Vectores Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Independencia y Dependencia . . .. . . . . . . . . . . . . 1.2. Procesos Estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Proceso derivado de un movimiento Browniano . . . . . . 1.3.3. Simulación del camino muestral Browniano . . . . . . . . 1.4. Esperanza Condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Esperanza Condicional bajo una condición discreta . . . . 1.4.2. Acerca de los Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Esperanza condicional general. . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Reglas para calcular la Esperanza Condicional . . . . . . 1.4.5. La Propiedad de Proyección de la Esperanza Condicional 1.5. Martingalas . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. La integral estocástica 2.1. Las integrales Riemann y Riemann-Stieltjes . . . . . . . 2.1.1. La integral ordinaria Riemann . . . . . . . . . . 2.1.2. La Integral de Riemann-Stieltjes. . . . . . . . . . 2.2.La integral de itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. La integral estocástica itô para proceso simples. . 2.2.3. La integral general de itô . . . . . . . . . . . . . 2.3. El lema de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. La clásica regla de la cadena para derivar . . . . 2.3.2. Una Versión Simple dellema de itô . . . . . . . 2.3.3. Versiones extendidas del Lema de Itô . . . . . . . 2.4. La Integral de Stratonovich y Otras Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 3 4 5 7 7 8 10 13 13 14 15 16 17 18 18 19 20 20 20 21 22 22 24 26 27 27 28 29 30
3. Ecuaciones diferenciales estocásticas33 3.1. Ecuaciones diferenciales de tipo determinístico . . . . . . . . . . 33 3.2. Ecuaciones Diferenciales Estocásticas Itô . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. ¿Que és una ecuación diferencial estocástica? . . . . . . . 3.2.2. Resolviendo Ecuaciones diferenciales estocásticas de itô por el lema de itô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Resolviendo ecuaciones diferenciales de Itôutilizando cálculo de Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. La Ecuación General Diferencial Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 1 34 34 36 38 40
3.3.1. Ecuación Lineal con Ruido Aditivo . . . . . . . . 3.3.2. Ecuaciones homogéneas con ruido multiplicativo 3.3.3. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. La esperanza y covarianza de una solución . . . .3.4. Solución Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. La aproximación de Euler . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. La aproximación Milstein . . . . . . . . . . . . .
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4. Aplicaciones del cálculo estocástico en …nanzas 47 4.1. La fórmula de Black-Scholes para valuación deopciones. . . . . . 47 4.1.1. Conceptos importantes dentro de las …nanzas . . . . . . . 47 4.1.2. ¿Que es una opción? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.3. Formulación Matemática de un problema de valuación de opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.4. La Fórmula de Black y Scholes . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2. Una técnica útil: el cambio de...
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