Calculo Ii

INTEGRAL INDEFINIDA
Debido a la relación que existe entre la anti derivada y la integral definida en virtud del teorema fundamental del cálculo, frecuentemente se denotan las anti derivadas usando el signo de integral. Para distinguir las anti derivadas de las integrales definidas, no se ponen límites de integración en el signo de integral, como se especifica en la siguiente definición.DEFINICION:
La integral indefinida se define como:
f(x)dx=fx+c
Donde F es una anti derivada de f y C es una constante arbitraria.
Nótese que la integral indefinida no es más que otro simbolismo para la anti derivada más general de f. En vez de llamar anti derivación al proceso de encontrar F para una f dada, se denominara integración indefinida. La constante arbitraria C es la constante deintegración, f (x) es el integrando y x es la variable de integración. También se llama encontrar la integral indefinida al proceso de obtener F (x) + C. En general, el dominio de F no se señala explícitamente. Siempre se supone que se ha elegido un intervalo adecuado sobre el que f es integrable. En particular, puede usarse un intervalo cerrado en el que f sea continua. Igual que para las integralesdefinidas, no importa el símbolo que se emplee para la variable de integración ya que, por ejemplo, ∫ f (t) dt, ∫ f (u) du, etcétera, indica la misma función F que ∫ f (x) dx. Como la integral indefinida de f es una anti derivada, el Teorema Fundamental del Cálculo relaciona las integrales definida e indefinida.
bafxdx= fxdxba

TEOREMA:

Entonces, pueden evaluarse integrales definidas de unafunción f si se conoce su integral indefinida. Se pueden demostrar la siguiente regla de la potencia para integrales indefinidas derivando la expresión al lado derecho de la igualdad y mostrando que se obtiene el integrando.
REGLA DE LA POTENCIA PARA INTEGRALES INDEFINIDAS:
Si r es un número racional y r ≠ -1, entonces
xrdx=xr+1r+1+cEjemplo: Evaluar
(a) x2dx

(b) (8t3-6t+1)dt
Solución: encontrar una anti derivada para cada integrando y sumarle una constante arbitraria en este caso C. Usando la regla de la potencia.
(a) x2dx=x33+c

(b) (8t3-6t12+t-2dt)=8*t44-6*t3232+t-1-1+c=2t4-4t32-1t+c
MÉTODO DE INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN
Se entiendepor métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una anti derivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que:

fx=f(x)dx
Lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) talque f(x) es su derivada:
dfxdx=f(x)
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este métodorealiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Ejemplo:
Procedimiento práctico
Supongamos que la integral a resolver es:
-23xcos(2x2+3)dx
En la integral reemplazamos 2x2+3 como (u) :
-23xcos(u)dx (1)
Ahora necesitamos sustituir también dx para que la integral quede sólo en función de u

Tenemos que2x2+3=u, por tanto derivando se obtiene 4xdx=du 
Se despeja dx=du4x  y seagrega donde corresponde en (1):
-23xcosudu4
Simplificando:
-23cosu du4
Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de...