Calculo vectorial - bernardo acevedo

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MATEMÁTICAS III
Bernardo Acevedo .

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES Junio 2003

ii

Contenido
Prologo 1 Super…cies 1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 De…nición de Super…cie . . . . . . . . . . . 1.3 Curvas de Nivel . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Super…cie Cuádrica . . . . . . . . . . 1.4.1 De…nición . . .. . . . . . . . . . . 1.4.2 Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Cilindro circular o elíptico . . . . 1.4.4 Cilindros Parabólicos: . . . . . . 1.4.5 Cilindros Hiperbólicos: . . . . . 1.4.6 Paraboloide elíptico o circular 1.4.7 Paraboloide hiperbólico . . . . . . . 1.4.8 Hiperboloide de una hoja . . . . . . 1.4.9 Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.10 Hiperboloide de dos hojas . . .. . 1.4.11 Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 1 1 1 4 4 6 6 6 7 8 9 9 11 11 12 12 13 17 17 17 18 20 38 38 46

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2 Funciones 2.1 Introducción . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2.2 De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Propiedades de los límites . . . . . . 2.4 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Algunas propiedades de las derivadas iii

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iv 2.4.3 Vector Gradiente . . . . . . . . . . . Interpretación Geométrica de la Derivada . . Derivadas de orden superior . . . . . . . . . Derivada Direccional . . . . . . . . . . . . . 2.7.1Algunas propiedades: . . . . . . . . . Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Algunas propiedades de la diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONTENIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 53 56 62 65 6571 91 91 103 114 117 117 117 118 119 120 120 120 120 131

2.5 2.6 2.7 2.8

3 Regla de la cadena 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Función Implícita . . . . . . . . . . . . 3.3 Planos Tangentes y Rectas Normales . 3.4 Máximos y Mínimos . . . . . . . . . . 3.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . 3.4.2 De…nicion de máximo absoluto 3.4.3 De…nición de máximo relativo . 3.4.4De…nición de mínimo absoluto . 3.4.5 De…nición de Extremos . . . . 3.4.6 De…nición de punto crítco . . 3.4.7 De…nición de Matriz Hessiana 3.4.8 Criterio de la matriz Hessiana 3.5 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . .

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