Calculo vectorial

CÁLCULO VECTORIAL
Fernando Núñez Medina

Apéndice A Super…cies cilíndricas y cuádricas
En este apéndice de…niremos a las super…cies cilíndricas y cuádricas que utilizaremos en varias secciones del texto.

A.1.

Super…cies cilíndricas

Comenzaremos con la de…nición de super…cie cilíndrica.

De…nición A.1 Sea G una curva en un plano P . Al conjunto de todas las rectas perpendicularesal plano P y que pasan por G se le llama super…cie cilíndrica generada por la curva G.

A continuación se muestran algunos ejemplos de super…cies cilíndricas que están generadas por curvas en el plano XY:

Ejemplo A.2 Cilindro generado por la curva x2 + y 2 = 52 : 91

92

APÉNDICE A. SUPERFICIES CILÍNDRICAS Y CUÁDRICAS

4 -4 -2

z

4

X

2 -4 -2 0 0 0 -2 2 2 -4 Y4

Cilindrogenerado por la curva x2 + y 2 = 52 : Ejemplo A.3 Super…cie cilíndrica generado por la curva y = x2 :

20

y
-4 -2

10 0 0 -5 5

2

4

X
Super…cie cilíndrica generada por la curva y = x2 : Ejemplo A.4 Super…cie cilíndrica generado por la curva y = p x:

20

y

10 0 5

X

0 -5

2

4

Super…cie cilíndrica generada por la curva y =

p

x:

A.2. SUPERFICIES CUÁDRICAS93

Ejemplo A.5 Super…cie cilíndrica generado por la curva y = sin (x) :

1.0 0.5 0.0 z-4 -2 0 0 -2 2 4 -0.5 2 4 -4

X-1.0

Y

Super…cie cilíndrica generado por la curva y = sen (x) : En el siguiente apéndice estudiaremos el sistema de coordenadas cilíndricas en el espacio que como veremos está relacionado con super…cies cilíndricas.

A.2.

Super…cies cuádricas

Comenzaremos conla de…nición de super…cie cuádrica. De…nición A.6 Una super…cie cuádrica es el conjunto de todos los puntos del espacio que satisfacen la ecuación Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Ix + J = 0; donde no todos los coe…cientes A; B; C; D; E y F son iguales a cero. Si en una super…cie cuádrica hacemos z igual a una constante, por ejemplo z = 0; obtenemos una sección cónica o un"límite"se secciones cónicas. En los siguientes ejemplos se muestran los tipos básicos de super…cies cuádricas.. Ejemplo A.7 Elipsoide
x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

=1

94

APÉNDICE A. SUPERFICIES CILÍNDRICAS Y CUÁDRICAS

z X

Y

Elipsoide

Ejemplo A.8 Hiperboloide de una hoja 2 2 2 z2 Las formas del hiperboloide de una hoja son tres; x2 + y2 = 1, x2 a b c2 a 2 2 2 2 y2 + z2 = 1 y x2+ y2 + z2 = 1: En la …gura se muestra el hiperboloide b2 c a b c correspundiente a la primera ecuación.

z X

Y

Hiperboloide de una hoja

Ejemplo A.9 Hiperboloide de dos hojas 2 2 y2 Las formas del hiperboloide de dos hojas son tres; x2 + z2 = 1, a b2 c 2 2 2 y2 x2 z2 = 1 y x2 + y2 z2 = 1: En la …gura se muestra el hiperboloide a2 b2 c2 a b c correspondiente a la primera ecuación.A.2. SUPERFICIES CUÁDRICAS

95

z X

Y

Hiperboloide de dos hojas

Ejemplo A.10 Paraboloide elíptico 2 2 2 2 Las formas del paraboloide elíptico son tres; x2 + y2 = cz, x2 + z2 = by y a b a c 2 y2 + z2 = ax: En la …gura se muestra el paraboloide elíptico correspondiente b2 c a la primera ecuación.

z X

Y

Paraboloide elíptico.

Ejemplo A.11 Paraboloide hiperbólico 2 2 2 2 Lasformas del paraboloide hiperbólico son tres; x2 y2 = cz, x2 z2 = by a b a c 2 2 y y2 z2 = ax: En la …gura se muestra el paraboloide elíptico correspondiente b c a la primera ecuación.

96

APÉNDICE A. SUPERFICIES CILÍNDRICAS Y CUÁDRICAS

z X

Y

Paraboloide hiperbólico. Ejemplo A.12 Cono asintótico o cono elíptico 2 2 2 2 2 2 Las formas del cono asintótico son tres; x2 + y2 z2 = 0; x2 y2 +z2 = 0 y a b c a b c 2 2 x2 + y2 + z2 = 0: En la …gura se muestra el cono asintótico correspondiente a2 b c a la primera ecuación.

z X

Y

Cono asintótico.

Apéndice B Sistemas de Coordenadas
En este apéndice de…niremos algunos sistemas de coordenadas que utilizaremos en algunas secciones del texto. Dichos sistemas de coordenadas serán de gran importancia en algunas aplicaciones del...