Calculo Vectorial

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Calculo Vectorial |
Derivadas En Cadena |
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En este documento se da una pequeña introducción a la regla de la cadena utilizada para derivar ciertas funciones |
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ErikPaul Lara Martínez |
13/12/2012 |
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Regla de la cadena
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composiciónde dosfunciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Descripción de la regla
En términos intuitivos, si una variable y, depende de unasegunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respectoa u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Descripción algebraica
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en  y  esuna función diferenciable en , entonces la función compuesta  es diferenciable en  y

Notación de Leibniz
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:Donde  indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.
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Demostración de la regla de la cadena
Sea

Esto es entonces

Aplicando ladefinición de derivada se tiene

Donde queda

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre 

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Ejemplos de aplicación
Ejemplo conceptualSupóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Almultiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicación...