Calculo

 Integral indefinida
 
* Integral Indefinida
* Fórmulas y métodos de integración
* Regla de la cadena para la antiderivación
* Integral de la función exponencial de base e
* Integral de la función exponencial de base "a"
* Integral que da como resultado la función logaritmo natural
* Integrales de las funciones trigonométricas
*Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas
* Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas
* Técnicas de Integración
* Método de sustitución
* Integración por partes
* Integración por sustitución trigonométrica
* Integración de fracciones racionales

 
 
Integral Indefinida
Dada unafunción , una primitiva arbitraria de se denomina generalmente integral indefinida de f(x) y se escribe en la forma .
La primitiva de una función también recibe el nombre de antiderivada.
Si es una función tal que para en un intervalo , entonces la integral indefinida de está dada por:

C es cualquier número real y recibe el nombre de constante de integración.
  | Teorema 1  |
  |Si son dos funciones primitivas de la función sobre un intervalo , entonces , es decir, su diferencia es igual a una constante.
Prueba: Al final del capítulo.   |
|
 
Puede decirse a partir de este teorema que si se conoce cualquier función primitiva de de la función , entonces cualquier otra primitiva de tiene la forma , donde C es una constante.
Luego
Nos dedicaremos ahora a estudiarlos métodos que permiten determinar las funciones primitivas, (y por tanto las integrales indefinidas), de ciertas clases de funciones elementales.
El proceso que permite determinar la función primitiva de una función recibe el nombre de integración de la función f(x).
Las propiedades estudiadas para la integral definida también se cumplen para la integral indefinida.
 
 
Regla de lacadena para la antiderivación
Sea una función derivable en un intervalo .
Sea una función definida en una antiderivada de .
Entonces:
Note que , como es una primitiva de entonces por lo que:
.
Luego tenemos que:
1. . ¡Compruébelo!
2. ¡Compruébelo!
El caso en que será estudiado luego.
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
Note que , por lo que es necesario multiplicarpor y de la siguiente manera:

5. Note que

6.
Note que

Ejercicios para el estudiante:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
 
 
Integral de la función exponencial de base e
Recuerde que y que
Luego y
Ejemplos:
1. en este caso , por lo que multiplicamos y dividimos por 2 para tener la integral completa.

2. Note que

3. Note que

4.Recuerde que

Ejercicios para el estudiante:
1.
2.
3.
4.
5.
6.  
 
 
Integral de la función exponencial de base "a"
Como entonces:
y
Ejemplos:
1.
2.
3.

 
 
Integral que da como resultado la función logaritmo natural

Prueba:
Si entonces   y  por lo que:

Si entonces ,y, por lo que:

De esta manera queda comprobado la igualdaddada en .
En general se tiene que
Observe que la expresión en el denominador debe tener exponente uno y que además en el integrando debe aparecer la derivada de f(x).
Ejemplos:
1.  
2.
3. Note que

Nota:
Cuando en un cociente, la variable de la expresión en el numerador tiene exponente mayor o igual al de la variable en el denominador, debe efectuarse primero una división yluego integrar como se especifica en los ejemplos siguientes:
4.

5.

6. Ejercicio para el estudiante
7.  
8.  
9. Integrales de las funciones trigonométricas
10. Se debe tener muy claro cuál es la derivada de cada una de las funciones trigonométricas estudiadas.
11. Daremos a continuación la lista de las fórmulas:
  |   |
1. | |
  | Si entonces por...