Calculo

Teorema 5 (derivada de una suma o diferencia)
Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces f ± g es diferenciables en x y se cumple que:
(f ± g)`(x)=`f(x) ±g`(x)
O, simplemente,
(f ±g)`=f `± g`
La regla de la suma o diferencia, con las otras notaciones se expresa así:
Fx [f(x) ± g(x)] = Fxf(x) ± Fx g(x)
ffx [ f(x) ± g(x) ] = ffx (f(x)) ± ffx (g(x))
Ejemplo:
( f (x) ± g(x))`=limh→0 fx+h± gx+h- [fx± gx]h
= limh→0 fx+h-f(x) h ± limh→0g x+h- g(x)h = f`(x) ± g`(x).

Ejercicio propuesto:
A) Fx [ex+ x3]
B) Fx [x4- x2+5]

Teorema 6 (Derivadade un producto)
Regla de un producto
Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces fg es diferenciable en x y se cumple que:
( f g )`(x) = f (x) g`(x) + g (x) f `(x)
O simplemente que,
(fg) `= f g`+ g f `
Las reglas del producto, con las otras notaciones se expresa asi:
Fx [f(x) g(x)] = f(x) Fxg(x) + g(x) Fxf(x)
ffx [ f(x) g(x) ] = f(x) ffx (g(x)) + g(x) ffx (f(x))

Corolario:Si c es una constante y f es una función diferenciable en x, entonces cf es diferenciable en x y se cumple que:
( cf ) `(x) = cf `(x)
Fx [cf(x)] = c Fx f(x) ò ffx [cf(x)] = c ffx (f(x))Demostración:
Aplicando la regla del producto y la regla de la constante tenemos que:
Fx [cf(x)] = c Fx f(x) + f(x) Fxc = c Fx f(x) + 0 = c Fx f(x).

Ejemplo:
Regla del producto. Si f y g son diferenciablesen x, probar:
(fg)`(x) = f(x) g`(x) + g(x) f`(x).
Solución
( fg ) `(x) = limh→0 fx+hgx+h-fxf `(x)h
Restando y sumando f(x+h)g(x) al numerador tenemos:
( fg)`(x) = limh→0 fx+hgx+h- fx+hgx+fx+hgx- fxgxh
=limh→0[fx+hgx+h- fx+hg(x)h] + limh→0[fx+hgx- fxg(x)h]
=limh→0[f (x+h)gx+h- g(x)h] + limh→0[g(x)fx+h- f(x)h]
=[limh→0fx+h] [limh→0gx+h- g(x)h] + [Lìmh→0g(x)] [limn→∞f(x+h-f(x)f]
= f(x)g`(x) + g(x) f `(x)

Ejercicio Propuesto:
A) Fx [5x3]
B) Fx [5 + 62 x2]

Teorema 7 (Derivada de un cociente)
Regla del cociente
Si f y g son diferenciables en x y g(x) ≠ 0, entonces fg es...