calculo

COLEGIO DE BACHILLERES

CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL I
FASCÍCULO 1. RAZÓN DE CAMBIO

Autores: Mario Luis Flores Fuentes
Alberto Luque Luna

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Í NDICE

INTRODUCCIÓN

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PROPÓSITO

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CAPÍTULO 1. RAZÓN DE CAMBIO

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1.1 RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO
1.2 RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA

10
20

RECAPITULACIÓN

28

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

29

AUTOEVALUACIÓN32

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

35

3

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INTRODUCCIÓN

El origen del Cálculo Integral se remonta a más de 2 00 años, cuando los griegos
intentaban resolver el problema del área, ideando el procedimiento que llamaron
MÉTODO DE EXHAUCIÓN.
Las ideas esenciales de este método son realmente muy simples. Desde Arquímedes, el
desarrollo del Método de Exhaución tuvo que esperar casi18 siglos, hasta que el uso de
losa símbolos y técnicas algebraicas se hizo en estudios matemáticos. El álgebra
elemental que hoy en día es familiar, en tiempos de Arquímedes era totalmente
desconocida, lo cual hacía posible difundir dicho método. Un cambio lento pero
revolucionario, en el desarrollo de las notaciones matemáticas empezó en el siglo XVI D.
C. Con la introducción de lossímbolos algebraicos, revivió el interés por el antiguo
Método de Exhaución y en el siglo antes mencionado se descubrieron múltiples
resultados, los que como Cavalleri, Torrecelli, Roberval, Fermat, Pascal y Wallis fueron
pioneros.
Gradualmente, el Método de Exhaución fue transformándose en lo que hoy se conoce
como Cálculo Integral.
Newton y Leibniz separadamente uno del otro, fueron en parte losresponsables del
desarrollo de las ideas básicas del Cálculo Integral hasta llegar a encontrar problemas
que en su tiempo fueron irresolubles, su mayor logro fue el hecho de poder fundir en uno
el cálculo integral y la segunda rama importante del cálculo: el Cálculo Diferencial.
La idea central del Cálculo Diferencial es la noción de derivada. Igual que la Integral, la
derivada fue originadapor un problema de Geometría.
Por lo tanto los cálculos: Integral y Diferencial permiten obtener técnicas para dar
solución a problemas que están fuera del alcance de los Métodos Algebraicos.
El objetivo del presente fascículo es analizar tanto cuantitativamente como
cualitativamente las razones de cambio instantáneo y promedio, lo cual te permite dar
solución a situaciones problemáticas.
Laadquisición del conocimiento del cálculo sirve para aumentar la capacidad de
retención transferencia de ideas, la toma de decisiones al relacionar el cálculo con otras
ciencias, así como también con relación a todos los fenómenos cotidianos que se
presentan dentro de lo económico, demográfico, ambiental, biológico, social y físico,
entre otros.
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PROPÓSITO

En los fascículosanteriores estudiaste los elementos que conforman la cultura básica de
las Matemáticas: Aritmética, Álgebra de Funciones, Geometría Euclidiana, Trigonometría
y Geometría Analítica, descubriste su importancia y analizaste su utilidad. Con el estudio
de este material profundizarás en el estudio de las funciones y sus aplicaciones,
accederás a un nuevo lenguaje y metodología.
A través del estudio delos conceptos: Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio
Instantánea, conceptos relativos a los cambios de una magnitud con respecto a otra con
la que está relacionada funcionalmente, aprenderás a resolver problemas cuya solución
no está al alcance de los métodos algebraicos.

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CAPÍTULO 1
RAZÓN DE CAMBIO
La producción de acero en Monterrey N.L. (México) en millones de toneladas,durante el
año de 1992 a partir del mes de enero se muestra en la tabla.

ENE

FEB

Meses

1

2

Producción
en
millones
de
toneladas

6.7

8.5

MAR

8.9

MAY

JUN

JUL

AGO

SEP

OCT

NOV

DIC

4

3

ABR

5

6

7

8

9

10

11

12

7.8

9.7

10.
5

9.3

11.2

8.8

11.7

11.5

11.9

I)

Tomando valores...