calculo

F U N C I O N E S V E C T O R I A L E S f: ℝ  ℝ2
1 Un gusano se mueve arrastrándose sobre una hoja de papel. Si quisiéramos determinar la posición del gusano en el papel respecto al tiempo, ¿sería esta posición una función del tiempo? Justifique su respuesta.
2 Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas para el segmento rectilíneo que une P(1,-1,2) y Q(4,1,7)
3 Dibuje latrayectoria dada por:
f(t) =
4 Para f(t) = (2t, t2 – 1), t[-1,2] :
a) Dibuje la imagen de f
b) Encuentre una ecuación en coordenadas cartesianas para f (t).
5 Asocie las ecuaciones paramétricas con la curva plana a la que corresponde, justificando su decisión:



6 La posición de una partícula que se mueve en el plano está dada por r(t). Encuentre su velocidad, suaceleración y su rapidez en el tiempo t. Dibuje la trayectoria de la partícula junto con los vectores correspondientes a la velocidad y la aceleración en el tiempo t indicado:
a) r(t) = 2t i + (4t2 + 1) j , t=1. b) r(t) = cos2 t i + 2 sen t j , t= 3/4
c) r(t)= (√t, 1-t), t=1.
7 En cada uno de los ejercicios siguientes dibuje la imagen de la curva C que tiene las ecuaciones paramétricas dadas yencuentre su ecuación en coordenadas cartesianas:
a) f(t) = (2t, t2 – 1) , t  -1,2. b) f(t) = ( -2 1- t2 , t) , t  1.
8 En el siguiente ejercicio se dan las curvas C1, C2, C3 y C4 en forma paramétrica, donde t  R. Dibuje la imagen de cada una de ellas y discuta sus semejanzas y diferencias:
C1 : x(t) = t, y(t) = 1-t ; C2 : x(t) = 1-t2, y(t) =t2 ; C3 : x(t) = cos2 t, y(t) = sen2 t
C4 : x(t) = ln t, y(t) = 1- ln t
9 Diga si el enunciado siguiente es falso o verdadero; si es verdadero explique por qué o proporcione un ejemplo que niegue el enunciado:
“La curva con ecuación vectorial r(t)= t3 i + 2t3 j + 3t3 k es una recta”.
10 Diga si la función vectorial definida por las ecuaciones paramétricas

tiene como imageny explique por qué.
11 Para f(t) = (6cos t, 2sen t), t [0, 2] :
a) Grafique la imagen de f.
b) ¿Para qué valor de t el vector tangente tiene una inclinación de 135?
12 Para f(t) = (t, t4- t2) :
a) Grafique la imagen de f
b) Encuentre f´(t)
c) Escriba la expresión de la recta tangente a f en t=2.
d) Encuentre el valor o valores de t tal que el vector tangente a la gráfica sea paraleloal eje x; paralelo al eje y.
13 Dada f(t)= (t-2, 4+t2-4t), tεℝ :
a) Dibuje los vectores tangentes para t=0, 1, 2.
b) Encuentre el valor de t para el cual el vector tangente tiene una inclinación de 30°.
c) Encuentre la expresión de la recta tangente a f en el punto (3,9).
d) Dibuje la trayectoria.
14 Supongamos  (t) = (t, t2, t cos t), y en t= sale de esta curva sobre la tangente, ¿dóndeestá en t= 2?
15 Una curva C se define por las ecuaciones paramétricas x(t)= t2, y(t)= t3-3t.
a) Muestre que C tiene dos tangentes en el punto (3,0) y encuentre sus ecuaciones.
b) Determine los puntos en C donde la tangente es horizontal o vertical.
c) Determine dónde la curva es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
16 Dos partículas recorren las curvas en el espacio f(t) =(t,t2,t3), g(t) =(1+2t,1+6t,1+4t)
¿Chocarán las partículas? ¿Se cortan las trayectorias?

17 En cada uno de los ejercicios siguientes se dan las ecuaciones paramétricas de una curva C; encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a C en el punto P:
a) (t)= 2t3 – 1, y(t)= -5t2 + 3, z(t)= 8t + 2; P (1,-2,10); b) (t)= 3t2 + 1, y(t)= 4t, z(t)= et-1 ; P (4,4,1)
18 Encuentre dos vectoresunitarios distintos tangentes a la curva en el punto P indicado:
a) x(t)= e2t , y(t)= e-t , z(t)= t2 + 4; P(1,1,4) ; b) 6 x(t)=2+ sent, y(t)=cost, z(t)=t; P(2,1,0).
19 Use la función aceleración dada por a(t)= 6t i -12 t2 j + k para encontrar la función velocidad V(t) y la función de posición r(t) con las siguientes condiciones: V(0)= i+2j-3k y r(0)= 7i+k
20 Encuentre el vector de...