Calculo

Ejercicios resueltos de ´ CALCULO
Agust´ Valverde Ramos ın

***** BORRADOR *****

´ Editado electronicamente por Agust´ Valverde ın

c Agust´ Valverde Ramos ın Dpto. de Matem´tica Aplicada a Escuela T´cnica Superior de Ingenier´ Inform´tica e ıa a Universidad de M´laga a Bvd. Louis Pasteur, s/n (Campus de Teatinos) 29071 M´laga a

Introducci´n o
Notaci´n de ejercicios: cap.ej(apart) ocap.ej o ej(apart) o ej o

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´ Indice general

iv

Cap´ ıtulo 1

El cuerpo de los n´meros complejos u

1

´ El cuerpo de los numeros complejos

2

Problema 1 Hallar el m´dulo y el argumento de cada uno de los siguientes n´meros: o u √ 7 3 + 4i; (3 + 4i)−1 ; (1 + i)5 ; 3 + 4i;

|3 + 4i|

Recordemos que el recorrido considerado para la funci´n arc tg es (−π/2, π/2);adem´s, esta funci´n es impar y o a o verifica la siguiente igualdad: π 1 arc tg x + arc tg = x 2  |3 + 4i| = √ 32 + 42 = 5

arg(3 + 4i) = arc tg 4/3  Utilizamos el apartado anterior: |(3 + 4i)−1 | = |3 + 4i|−1 = 1/5

arg((3 + 4i)−1 ) = − arg(3 + 4i) = − arc tg 4/3  Resolvemos este apartado de una forma alternativa utilizando la notaci´n de Euler y la f´rmula de Moivre o o √ √ √ 1 5π π 5π π 1 + isen ) (1 + i)5 = ( 2( √ + √ i))5 = ( 2(cos + i sen ))5 = 4 2(cos 4 4 4 4 2 2 √ Por tanto, |(1 + i)5 | = 4 2 y arg(1 + i)5 = 5π 4
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√ √  Dado que |3 + 4i| = 5, | 7 3 + 4i| = 7 5. Por otra parte, un n´mero complejo tiene n ra´ n−´simas distintas u ıces e 4 ıces cuyos m´dulos coinciden; si α =arc tg 3 es el argumento de 3 + 4i, entonces los argumentos de las 7 ra´ o 1 2 septimas son 7 α + 7 πk para k = 0, 1, . . . , 6.  Dado que |3 + 4i| = 5 es un n´mero real positivo, coincide con su valor absoluto y su argumento es 0. u

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Problema 2 Expresar cada uno de los siguientes n´meroscomplejos en la forma “a + bi”: u eπi/2 ; 2e−πi/2 ; 3eπi ; −e−πi ; i + e2πi ; eπi/4 ; eπi/4 − e−πi/4 ; 1 − eπi/2 1 + eπi/2

 eπi/2 = cos π + i sen π = i. 2 2  2e−πi/2 = −2i.  3eπi = −3.  −e−πi = 1.  i + e2πi = i + 1.  eπi/4 =
1 √ 2 1 + i √2 .

√ 1  eπi/4 − e−πi/4 = 2iIm(eπi/4 ) = 2i sen π/4 = 2i √ = i 2 2
πi/2  1 − eπi/2 = 1 − i = 1 (1 − i)2 = −i 1+i 2 1+e

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Problema 3 En cada caso, hallar todos los valores de x e y que satisfacen la relaci´n dada: o x + iy = xeiy ; x + iy = yeix ; ex+iy = −1; 1+i = xeiy 1−i

 x + iy = xeiy : Si x = 0, entonces y = 0; si x = 0, y dado que xeiy = x cos y + ix sen y, debe ocurrir que cos y = 1 y, en tal caso, sen y = 0 e y = x sen y =0. Por tanto, las soluciones son todos los complejos con parte imaginaria nula.  x + iy = yeix : Si y = 0, entonces x = 0; si y = 0, y dado que yeix = y cos x + iy sen x, debe ocurrir que sen x = 1 y en tal caso cos x = 0 y x = y cos x = 0; finalmente, dado que la igualdad y = iy no es posible para ning´n y = 0, deducimos que la unica soluci´n es (0, 0). u ´ o  Dado que −1 = eiπ , las solucionesde la ecuaci´n ex+iy = −1 son: x = 0 e y = π + 2kπ o  Dado que 1+i 1+i = i = eiπ/2 , las soluciones de la ecuaci´n o = xeiy son: x = 1 e y = 1−i 1−i
π 2

+ 2kπ

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Problema 4 Resolver las ecuaciones siguientes: 1. x2 + ix + 1 = 0; 2. x4 + x2 + 1 = 0; 3. x3 − x2 − x − 2 = 0;  ix − (1 +i)y = 3 4. (2 + i)x + iy = 4

1. x2 + ix + 1 = 0

√ 1 x = (−i ± −1 − 4) 2 √ √ 1 1 Por tanto, las dos soluciones de la ecuaci´n son x1 = 2 ( 5 − 1)i y x2 = − 2 ( 5 + 1)i. o ⇐⇒ √ √ 1 1 x4 + x2 + 1 = 0 ⇐⇒ x2 = (−1 ± 1 − 4) = (−1 ± i 3) 2 2 Por tanto, las dos soluciones de la ecuaci´n en x2 son: o √ 2π 1 2π + i sen y1 = (−1 + i 3) = cos 2 3 3 y2 = √ 1 4π 4π (−1 − i 3) = cos + i sen 2 3 3

2....