Calculo

Diferenciación y diferenciabilidad [editar]La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.

Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si unafunción no es [[Función continua|continua]] en ''c'', entonces no puede ser diferenciable en ''c''; sin embargo, aunque una función sea continua en ''c'', puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).

Derivadas de ordensuperior [editar]La derivada de una función diferenciable puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de tercera derivada, y así sucesivamente.

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Paraidentificar las derivadas de f(x) en el punto a, se escribe:

para la primera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada (n > 3).
Para la función derivada de f(x), se escribe . De modo parecido, para la segunda derivada de f(x) se escribe , y así sucesivamente. Dado que si X= y , Z sera igual a la derivada de X+2.

Cociente diferencial de Newton[editar]Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.

Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite delas pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h)) es

Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. Laderivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial conforme las líneas secantes se acercan más a la tangente:

Si la derivada de f existe en cada punto x, podemos definir la derivada de f como la función cuyo valor en el punto x es la derivada de f en x.

Puesto que la inmediata sustitución de h por 0 da como resultado una división por cero, calcular la derivada directamentepuede ser poco intuitivo. Una técnica es simplificar el numerador de modo que la h del denominador pueda ser cancelada. Esto resulta muy sencillo con funciones polinómicas, pero para la mayoría de las funciones resulta demasiado complicado. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan la diferenciación de la mayoría de las funciones descritas; ver abajo.

Algunos ejemplos de cómo utilizareste cociente:

Ejemplo 1 [editar]Consideremos la siguiente función:



Entonces:




Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero no lo toca. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a lamisma curva.

Ejemplo 2 [editar]Consideremos la gráfiica de . Esta recta tiene una pendiente igual a 2.0 en cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendiientes en los puntos 4 y 5:



Entonces:






Y vemos que se cumple para cualquier número n:




Por tanto, se deduce que...