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4.9 Representación de funciones mediante series de potencias 2(
4,9 Representación de funciones mediante series de potencias
I Introducción Para cada x en su intervalo de convergencia, una seriede potencias ck(x-a) converge a un número. Por esta razón, una serie de potencias es en sí misma una función, la cual se denota como/, cuyo dominio es su intervalo de convergencia. Entonces para cadax en el intervalo de convergencia se define el elemento correspondiente en el rango de la función, el valor f(x), como la suma de la serie:

fx=c0+c1x-a+c2x-a2+…= k=0∞ckx-ak
Los dos siguientesteoremas, que se anuncian sin demostración, responden algunas de las preguntas fundamentales acerca de la díferencíabilidad, integrabilidad y continuidad de una función fdefinida por una serie depotencias.
I Diferenciación de una serie de potencias La función f definida por una serie de potencias ck(x-a)kes diferenciable.
Teorema 4.9.1 Diferenciación de una serie de potencias
Sifx=k=0∞ck(x-a)k converge sobre un intervalo (a-R,A+R) para el cual el radio de convergencia R es positivo o ∞, entonces f es diferenciable en cada x en (a-R,A+R), y

(1)
fx=k=1∞kckx-ak
El radio de convergencia Rde (1) es el mismo que el de la serie original.
El resultado de (1) establece simplemente que una serie de potencias puede diferenciarse término por término como se haría para una función polinomial:fx= ddxc0+ ddxc1x-a+ddxc2x-a2+…+ ddxcnx-an+…= c1+2c2x-a+3c3x-a2+… ncnx-an-1+…= k=1∞kckx-ak-1
Puesto que (1) es una serie de potencias con un radio de convergencia R, es posible aplicar elteorema 4.9.1 a f1 definida en (2). Esto es, puede afirmarse que/' es diferenciable en cada x en (a-R,a+R) está dada por
fx= 2c2+3* 2c3x-a…+nn-1cnx-an-2+…= k=2∞k(k-1)ck(x-a)k-2

Continuando de estamanera, se concluye que:
• Una función / definida por una serie de potencias sobre (a-R,a+R), R> O, o sobre (-∞,∞),posee derivadas de todos los órdenes en el intervalo.
El radio de...
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