Calculo

La continuidad de una funcion es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Intuitivamente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

*Funciones definidas por intervalos:
La funciones definidaspara distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:

La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: 
E(x) ≤ x < E(x) + 1. 
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a laderecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.
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Continuidad | f(x)=x2 |
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva. |    | f(x)=sgn x |
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x(signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.Expresemos esto en términos del concepto de límite...DefiniciónContinuidadUna función f(x) es continua en un punto asi limx->af(x) = f(a).Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).Ejemplos de discontinuidad | f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0)) |
|     | f(x) = x2 si x <= 2
        2x - 4 si x > 2 

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0 |
Sin embargo, si miramos lafunción para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".DefiniciónContinuidad por la izquierdaUna función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).DefiniciónContinuidad por la derechaUna función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).La funciónanterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.DefiniciónContinuidad en un intervalo cerrado [a,b]Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)Clasificación de discontinuidadesEvitableCaso A:No existe f(a) peroexiste limx->af(x).Ejemplo: |    | f(x)= e-1/x2 + 2 |
No existe f(0) pues anula un denominador.limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.Caso B:Existe f(a) y existe limx->af(x)=b perob≠f(a).
(Existe f(a) pero es distinto al valor del límite).Ejemplo: |    | f(x) = x2 si x≠2
        8 si x=2 |
f(2) = 8
limx->2 f(x) = 4Asignándole a la función el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad.No evitable1ª especie:limx->a-f(x) ≠ limx->a+f(x).
(Los límites laterales son distintos).Ejemplo: |    | f(x) = x/(x - 2) |
limx->2-f(x) = -inf
limx->2+f(x) = +inf2ªespecie:No existe limx->a-f(x) o no existe limx->a+f(x).
(No existe por lo menos uno de los límites laterales).Ejemplo: |    | ______ f(x) = \|x2 - 4 |
En x=-2 y x=2 la función presenta discontinuidades no evitables de 2ª especie. No existe limx->-2+f(x) y no existe limx->2-f(x).Operaciones con funciones continuasSi f y g son funciones...