Calculo

Notas de cálculo diferencial e integral

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Contenido
2. La derivada y sus aplicaciones ................................................................................................. 2 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.1.5. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. Teoremas de derivación .................................................................................................... 2Derivadas de funciones algebraicas ............................................................................... 3 Derivadas de polinomios ................................................................................................ 5 Derivadas de funciones trigonométricas ......................................................................... 6 Derivadas de funciones trascendentales........................................................................ 6 Derivadas de funciones trigonométricas inversas........................................................... 6 La regla de la cadena ...................................................................................................... 16 Derivación implícita...................................................................................................... 19 Derivadas de orden superior ........................................................................................ 25 Teorema del valor medio.............................................................................................. 27

2.3. Aplicaciones de la derivada................................................................................................. 29 2.3.1. Diferenciales..................................................................................................................... 30 2.3.2. Problemas de razón de cambio ........................................................................................ 31 2.3.3. Problemas deoptimización............................................................................................... 42 2.3.4. Regla de L´hôpital ............................................................................................................ 52 2.3.5. Análisis de la función ........................................................................................................ 57 2.3.6. Método de Newton –Raphson.......................................................................................... 74 2.4. Definición de anti derivada o primitiva ................................................................................. 77

Moisés Salas de los Santos Silverio Mera Luna Ignacio Elizalde Martínez

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2. La derivada y sus aplicaciones
2.1. Teoremas de derivación
Los siguientes teoremas seutilizan para derivar cualquier tipo de funciones. Teoremas de derivación básicas Si 1. 2. 3. 4. y [ [ [ [ ] ] son derivables en ] ] y si es cualquier constante, entonces Suma Diferencia Producto de una constante Producto de funciones por una función

5.

[

]

[

]

Cociente de funciones

Ejemplo 2.1 Derivar las siguientes funciones utilizando el teorema anterior 1) 2) 3) Solución
√√

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( (√ (√ √ √ √ √ √ √ ) ) √ )

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( √ (√ √ √ )

) √

2.1.1. Derivadas de funciones algebraicas
Las fórmulas de derivación más sencillas son las que se utilizan para las funciones algebraicas. Derivadas de funciones algebraicas Paracualquier número Derivada de una constante Derivada de la función identidad Derivada de la función potencia

Ejemplo 2.2 Derive: Solución: usando la derivada de la función potencia:

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Utilizando los teoremas de derivación de...