Calculo

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Transformación de gráfica de funciones
La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos ayuda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contradominio, describir su comportamiento: dónde crece, dónde decrece, dónde se hace cero, dónde tieneun mínimo o un máximo, etc. Para graficar una función de la manera más sencilla, basta sustituir valores de x en la función y calcular los valores correspondientes para y, ubicar estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y unir los puntos por una curva suave. En el análisis que se presenta aquí no usaremos ese método. En su lugar, describiremos cómo se comporta la función y haremos unestudio más bien descriptivo. El objetivo consiste en que tú logres «ver» la gráfica de la función antes de empezar a graficarla, es decir, que conozcas el comportamiento de la función, más que los puntos precisos por donde pasa. Algunas veces no se requiere precisión, sino un bosquejo es suficiente para obtener la información que requerimos. Grafica la función: y = x. • La gráfica de esta función esinmediata. Esta función, estrictamente hablando, “no transforma” los valores de x que le damos. • En palabras dice: “el mismo valor que me des de x, se lo asignaré a la variable y, sin hacerle ningún cambio”. • En realidad no requerimos tabular distintos valores de x y calcular los valores de y. La gráfica de esta función forma un ángulo de 45◦ con ambos ejes: y 3 2 1 y=x Ejemplo 1

−3 −2 −1 0 −1 −2−3

1

2

3

x

• En la gráfica se observa claramente que a cada valor de x le corresponde un valor de y. En este caso y = x, que es como se definió la función. • Encuentra el dominio y el contradominio de esta función. Recuerda que esta función es polinomial.

Grafica la función: y = x + 1.

Ejemplo 2

www.aprendematematicas.org.mx

1/15

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• Lagráfica de esta función es hermana de la anterior. • Esta función, en palabras dice: “al valor que me des de x le sumaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y. • De nuevo, no requerimos tabular distintos valores de x y calcular los valores de y. • La gráfica de esta función forma un ángulo de 45◦ con ambos ejes, como la anterior, pero ahora no pasa por el origen del sistema de coordenadas: y =x+1 y 3 2 1 x 0 1 2 3 y=x

−3

−2

−1 −1 −2 −3

• La gráfica en palabras nos dice: “A los antiguos valores de y (de la función y = x) les sumo 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y = x una unidad hacia arriba y obtengo la gráfica de la función y = x + 1”.

Ejemplo 3

Grafica la función: y = x − 1.

• La gráfica de esta función es hermana de las dos anteriores. •Esta función, en palabras dice: “al valor que me des de x le restaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y. • Como la gráfica anterior, ésta no pasa por el origen del sistema de coordenadas. • La gráfica de la función fue trasladada en una unidad también, pero ahora hacia abajo:

www.aprendematematicas.org.mx

2/15

Profr. Efraín Soto Apolinar.

y = x+1 y 3 y = x−1 2 1 x 0 1 2 3 y=x−3

−2

−1 −1 −2 −3

• La gráfica en palabras nos dice: “A los antiguos valores de y (de la función y = x) les resto 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y = x una unidad hacia abajo y obtendo la gráfica de la función y = x − 1”.

A partir de estos tres ejemplos tú fácilmente puedes graficar la función y = x + k, donde k es un número real. Translación vertical Si ala gráfica de la función y = f ( x ) la trasladamos verticalmente k unidades, obtenemos la gráfica de la función y = f ( x ) + k. Ahora veremos una nueva transformación. Grafica la función: y = 2 x. Ejemplo 4 Definición 1

• La gráfica de esta función es hermana de las anteriores. • Esta función, en palabras dice: “al valor que me des de x lo multiplicaré por 2, y ese valor se lo asignaré a la...