Calculo

C´lculo para la ingenier´ a ıa
Salvador Vera 9 de enero de 2005

ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

´ Indice general
1. Conceptos b´sicos a 1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El plano y elespacio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas . . . . 1.2.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. El c´ ırculo y la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.Representaci´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3.3. Dominio impl´ ıcito de una funci´n . . . . . . . . . . . . o 1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . 1.3.5. Composici´n de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3.6. Funciones inyectivas e inversas . . . . . . . . . . . . . 1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . 1.3.8. Im´genesdirecta e inversa de un conjunto . . . . . . . a 1.3.9. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.10. La funci´n valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4. L´ ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. C´lculo de l´ a ımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Sucesiones mon´tonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.5. L´ ımitey continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Definici´n de l´ o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. L´ ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Propiedades de los l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4. Continuidad de una funci´n en un punto . . . . . . . . o 1.5.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . .1.5.6. L´ ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.7. L´ ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.8. T´cnicas elementales para el c´lculo de l´ e a ımites . . . . 1.5.9. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.10. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . e a 1.6. Funciones hiperb´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . o 1.6.1. Coseno y seno hiperb´lico . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.6.2. F´rmula fundamental de la Trigonometr´ hiperb´lica o ıa o 1.6.3. Significado del t´rmino “hiperb´licas”. . . . . . . . . . e o 1 1 1 7 15 15 16 17 22 22 26 30 32 32 36 43 43 44 45 46 49 54 56 56 65 66 66 68 69 75 78 82 83 85 85 86 86

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1.6.4. Otras razones hiperb´licas . . . . . . o 1.6.5. F´rmulas del ´ngulo doble . . . . . . o a 1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . 1.6.7. Gr´fica de lasfunciones hiperb´licas a o 1.6.8. Funciones hiperb´licas inversas . . . o 1.6.9. Identidad hiperb´lica . . . . . . . . . o 1.6.10. F´rmula logar´ o ıtmica de las funciones 1.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 1 . . . .

´ INDICE GENERAL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hiperb´licas o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 88 88 89 90 90 91 93 93 93 97 102 104 110 118 119 119 119 121 123 126 130 132 133 136 145 146 149 149 149 150 152 152 152 153 154 156 156 158 158 159 159 160 162 164 166 168

2. Funciones de varias variables: L´...