Calculo

Capítulo 6

La integral de Riemann
Vamos a dar una definición precisa de la integral de una función definida en un intervalo. Este tiene que ser un intervalo cerrado y acotado, es decir [a, b] con a < b ∈ R, y la definición que daremos de integral solo se aplica a funciones acotadas, y no a todas, sino a las funciones que llamaremos integrables. En el siguiente capítulo veremos cómo, en unsentido más amplio, podemos hablar de integrales de funciones no acotadas o definidas en intervalos no acotados. Seguimos básicamente el desarrollo que puede verse, entre otros muchos textos, en [ROSS, cap. VI, pág. 184 y sigs.] o en [BARTLE -S HERBERT, cap. 6, pág. 251 y sigs.]. Como complemento puede consultarse [G UZMÁN, cap. 12]. La evolución histórica de la integral está muy bien contada (sobre todola aportación de Newton y Leibniz) en [D URÁN]; de carácter más técnico es el libro [G RATTAN -G UINNESS].

6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann
6.1.1. Definición de integral
Definición 6.1.1. Una partición de un intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos de [a, b] que incluye a los extremos. Una partición P la representamos ordenando sus puntos de menor a mayor,comenzando en a y terminando en b: El conjunto de las particiones de [a, b] lo indicamos con P([a, b]). Una partición como la indicada divide el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1 , xi ], cada uno de longitud xi − xi−1 . P = {xi }n ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. i=0

Definición 6.1.2 (sumas de Darboux). Sea f una función acotada definida en [a, b], y sea P ∈ P([a, b]), P ≡ {a = x0 i=1 n

y la suma superior de f asociada a P es S( f , P) = ∑ Mi (xi − xi−1 ).
i=1 n

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Capítulo 6. La integral de Riemann f (x) f (x)

a x1

x2

...xn−1

b

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma inferior asociada a una partición

Suma superior asociada a una partición

Observación. Para cualquier P ∈ P([a, b]) tenemos que S( f , P) ≤ S( f , P), ya que mi ≤ Mi para cada i. También, poniendo M = sup{ f (x) : x ∈ [a, b]}, m = ´nf{ f (x) : x ∈ [a, b]}, se deduce que m(b − a) ≤ ı S( f , P) ≤ S( f , P) ≤ M(b − a) cualquiera que sea lapartición P (y por consiguiente, tanto el conjunto de las sumas superiores como el de las sumas inferiores están acotados, superiormente por M(b − a), inferiormente por m(b − a)). Nota (relación entre la integral y la medida de áreas). Supongamos que f es una función no negativa y consideremos la región que delimita su gráfica con las rectas y = 0, x = a y x = b. Si el área de dicha región es A,entonces S( f , P) ≤ A ≤ S( f , P),

ya que las respectivas sumas son las áreas que obtenemos si cambiamos f en cada [xi−1 , xi ) por mi o Mi , y los hemos definido de forma que mi ≤ f ≤ Mi (de hecho hemos tomado los valores más ajustados que cumplen dichas desigualdades).

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma superior, área y suma inferior

En la figura, se representan en distinto color ladiferencia entre la suma superior y el área A y la diferencia entre A y la suma inferior. Parece claro que si tomamos una partición suficientemente nutrida de puntos podemos conseguir que estas zonas sean muy pequeñas, de forma que tanto la suma superior como la inferior sean arbitrariamente próximas al área A.

6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann Definición 6.1.3. Dada f acotada en[a, b], se define su integral inferior en [a, b] como
b a

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f = sup{S( f , P) : P ∈ P([a, b])},

y su integral superior en [a, b] como
b a

f = ´nf{S( f , P) : P ∈ P([a, b])}. ı

Notemos que, como consecuencia de la observación previa, la integral inferior y la superior son valores reales perfectamente definidos para cualquier función acotada en un intervalo cerrado y acotado. No es...

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