Centroides.

MÓDULO VIII

ESTATICA

Centros de gravedad y centroides (Bidimensional)

CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL
Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños.

Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas porla Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con W1, W2, . . . , Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la sumade las magnitudes de los pesos de los elementos.

para obtener las coordenadas x1 y y1del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es

Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente sedisminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:

Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x1 y y1 del centro de gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano xy (figura 5.2).Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no está localizado sobre esteúltimo.

CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS
En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud W del peso de un elemento de la placa puede expresarse como

donde y peso específico (peso por unidad de volumen) del material
t espesor de la placa
A área del elemento
En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como

donde A es el área total dela placa.
Si se emplean las unidades de uso común en Estados Unidos, se debe expresar el peso específıco en lb/ft3, el espesor t en pies y las áreas A y A en pies cuadrados. Entonces, se observa que W y W estarán expresados en libras. Si se usan las unidades del SI, se debe expresar a en N/m3, a t en metros y a las áreas A y A en metros cuadrados; entonces, los pesos W y W estarán expresados ennewtons.
Si se sustituye a W y a W en las ecuaciones de momento (5.1) y se divide a todos los términos entre t, se obtiene

Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite

Estas ecuaciones definen las coordenadas x1 y y1 del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyascoordenadas son x1 y y1 también se conoce como el centroide C del área A de la placa (figura 5.3).Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún definen al centroide del área.
En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud W del peso de un elemento de alambre puedeexpresarse como

donde y =peso específico del material
a = área de la sección transversal del alambre
L =longitud del elemento

El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C dela línea L que define la forma del alambre (figura 5.4). Las coordenadas x y y del centroide de la línea L se obtienen a partir de las ecuaciones.

PRIMEROS MOMENTOS DE ÁREAS Y LÍNEAS
La integral x dAen las ecuaciones (5.3) de la sección anterior se conoce como el primer momento del área A con respecto al eje y y se representa con Qy. En forma similar, la integral y dA define el primer momento de A con respecto al eje x y se representa con Qx. Así se escribe

Si comparamos las ecuaciones (5.3) con las ecuaciones (5.5), se observa que los primeros momentos del área A pueden ser expresados...