Clase de geometria vectorial

Resumen
Geometría Vectorial y Analítica.
Una introducción al Algebra Lineal
Abraham Asmar Charris Patricia Restrepo de Peláez Rosa Franco Arbeláez
Fernando Vargas Hernández
Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín.
Capítulo 9. Vectores en el espacio.
9.1 Vectores geométricos. Conceptos básicos y operaciones
Vector geométrico en el espacio es exactamente lomismo que vector geométrico en el plano, solo que para
un vector geométrico A!B en el espacio, el punto inicial A y el punto terminal B son puntos del espacio.
La magnitud

A!B

de un vector A!B del espacio se de…ne, al igual que en el plano, como la longitud
del segmento AB. La dirección de un vector geométrico A!B del espacio se expresa comúnmente empleando
un sistema de tres semirrectasorientadas, mutuamente perpendiculares, que parten del punto inicial A del
vector, como se ilustra en la …gura. La dirección del vector A!B queda determinada por los tres ángulos ; 
y
mostrados en la …gura, cada uno de los cuales se considera entre 0 y 180:
Los conceptos de igualdad entre vectores, ángulo entre dos vectores, vectores paralelos, vectores
perpendiculares, misma dirección,dirección opuesta, vector unitario, vector nulo se de…nen para
el espacio de la misma forma que para el plano.
Las operaciones suma y multiplicación por escalar también se de…nen de igual manera que para el
plano. Dichas operaciones conservan todas las propiedades que ellas tienen en el caso del plano.
Consideremos ahora tres vectores del espacio !u ;!v y !z ; todo vector del espacio de laforma
a!u + b!v + c!z
con a; b; c escalares, se dice una combinación lineal de !u ;!v y !z .
1
Al igual que para vectores del plano, dos vectores !u y !v del espacio se dicen linealmente dependientes
(L.D.) si alguno de los dos es múltiplo escalar del otro; de lo contrario los vectores se dicen linealmente
independientes (L.I.). Tres vectores !u ,!v y !z del espacio se dicen linealmentedependientes (L.D.)
si alguno de ellos es combinación lineal de los otros dos; si esto no sucede los vectores se dicen linealmente
independien-tes (L.I.).
Si !u ;!v ;!z son vectores L.I. del espacio, entonces todo vector !w del espacio
es expresable de manera única como combinación lineal de !u ;!v y !z ,
es decir, existen escalares únicos a; b; c tales que
!w = a!u + b!v + c!z :
Los conceptos deproyección de un vector sobre otro, componente escalar de un vector en la dirección
de un vector dado, como también el producto escalar de dos vectores, se de…nen para vectores en el espacio
de la misma manera que para vectores en el plano.
9.2 Sistema de coordenadas cartesianas para el espacio
Una terna ordenada de números reales está conformada por tres números. La terna ordenada que constade los números a; b y c, siendo a el primero, b el segundo y c el tercero se denotará
0
@
a
b
c
1
A:
0
@
a
b
c
1
A =
0
@
a0
b0
c0
1
A si y sólo si a = a0; b = b0 y c = c0:
Denotaremos R3 el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales, es decir,
R3=
8<
:
0
@
a
b
c
1
A/ a; b; c 2 R
9= ;
:
La noción de sistema de coordenadas cartesianas (orectangulares) para el espacio, es una extensión
de la noción de sistema de coordenadas cartesianas para el plano. Se consideran tres ejes coordenados (eje
x; eje y; eje z) con igual unidad de longitud, con un mismo origen O y mutuamente perpendiculares.
Si las direcciones positivas de dichos ejes son como se muestra en la …gura a; diremos que se trata de un
sistema cartesiano derecho. En la …gura b semuestra un sistema cartesiano izquierdo. Nosotros siem-
pre usaremos un sistema cartesiano derecho, al cual nos referiremos simplemente como un sistema cartesiano
xyz:
2
Dado un sistema cartesiano xyz para el espacio, llamaremos plano coordenado xy o simplemente plano
xy al plano que contiene al eje x y al eje y; signi…cado similar tienen las expresiones plano (coordenado)
xz y plano...